AMC 10 · 2014 · #15
학년 7 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심이다. 다섯 자리 수 900 개를 하나씩 더하는 것은 불가능하지만, 자리별로 모아서 더하면 짧은 계산 세 번이면 끝난다. 도구 #4(변수 도입하기)가 손잡이를 준다. 회문수를 10001a + 1010b + 100c 로 쓰면 각 자리가 분리된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 "a 전체의 합", "b 전체의 합", "c 전체의 합" 세 개로 나눈다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 완전히 독립적인 두 번째 경로를 준다. 자리별 합 대신 각 회문수를 그 숫자 보수와 짝지으면, 모든 짝의 합이 똑같아진다.
회문수의 개수 세기
그런 회문수는 900개다.
뒤의 두 자리는 앞의 두 자리의 메아리이므로, 회문수를 세는 일은 사실 앞의 세 자리를 세는 일이다.
7.SP.C.8Introduce A Variable자릿값으로 전개하기
자릿값이 하나를 가중합으로 바꾼다.
a 두 개는 항상 함께 움직이므로 무게 10001 하나로 묶을 수 있고, b 는 마찬가지로 무게 1010을 갖는다.
4.NBT.A.2Introduce A Variable수별이 아니라 자리별로 더하기
따라서 총합이 자리별로 더해진다.
긴 덧셈을 한 줄씩이 아니라 한 열씩 더하는 것과 똑같은 수법이다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways자리마다 총합 구하기
각 자리의 합은 쉽게 나온다.
허용된 숫자 값은 그 자리에서 모두 똑같은 횟수로 나타나므로, 자리별 총합은 (허용된 값들의 합) 곱하기 (각 값이 나타나는 횟수)이다.
7.SP.C.8Identify Subproblems곱하고 더하기
곱하면 딱 떨어지는 총합이 된다.
곱셈 세 번과 덧셈 한 번이 덧셈 구백 번을 대신한다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems보수 짝짓기로 교차 확인
보수 짝짓기가 그것을 확인한다.
모든 회문수를 자기 숫자 보수와 짝지으면 어느 짝이든 합이 똑같이 110,000 이므로, 전체 합은 짝의 개수 곱하기 110,000이다.
각 회문수를 그 자릿수의 보수와 짝지으면 어느 짝이든 같은 합이 된다.
▸ 왜?
각 자릿수를 9에서 뺀 값으로 바꾸면 모든 회문수가 정확히 한 짝으로 갔다가 되돌아온다.
▸ 왜?
그런 짝은 모두 같은 합을 이루므로, 전체 합은 그 합에 짝의 수를 곱한 것이다.
S 의 자릿수 더하기
그 자릿수 합은 18, 보기 (B).
끝의 0 들은 아무것도 보태지 않으므로 앞의 세 자리만 따지면 된다.
4.NBT.A.2Organize Information In More Ways수 900 개를 하나씩 더하는 것은 불가능하니 열별로 더한다. 자리마다 총합을 한 줄로 구할 수 있고, 그렇게 하면 S = 49,500,000이 나오며 자릿수 합은 18 — 선택지 (B)이다.
- 회문수의 개수 세기
- 자릿값으로 전개하기
- 수별이 아니라 자리별로 더하기
- 자리마다 총합 구하기
- 곱하고 더하기
- 보수 짝짓기로 교차 확인
- S 의 자릿수 더하기