AMC 10 · 2014 · #16
학년 6 number-theory digit-sumpattern-recognitionmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: digit-sum
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
같은 숫자가 반복된 수에 한 자리 수를 곱하고, 곱의 자릿수 합이 목표와 같다. 그 길이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
901
(B)
911
(C)
919
(D)
991
(E)
999
풀이 과정
전략 패턴 찾기
8이 k개 이어진 수는 우리가 예상하는 k의 크기에서는 너무 커서 곧바로 곱할 수 없다. 그래서 작은 경우 몇 개를 직접 계산하며 패턴을 찾는다(도구 #5): 8·88, 8·888처럼. 곱의 자릿수 모양이 드러나면 8의 개수를 변수 k로 두어(도구 #4) 자리 숫자의 합을 k에 대한 식으로 쓰고, "자리 숫자의 합 =1000"을 간단한 방정식으로 바꿔 푼다(도구 #13).
1STEP 1
작은 경우 몇 개를 곱해 보기
작은 경우가 뚜렷한 패턴을 보인다.
8·88=704, 8·888=7104, 8·8888=71104, 8·88888=711104
구체적인 곱을 몇 개 직접 해 보면 답의 모양이 스스로 드러난다.
5.NBT.B.5Look For A Pattern2STEP 2
자리 숫자의 패턴 읽기
곱에는 정해진 머리와 꼬리가 있다.
8·88…8_k=711…1_k-204
8을 하나 더할 때마다 가운데 1이 하나씩 늘어날 뿐이라 규칙을 쉽게 이어 갈 수 있다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
자리 숫자의 합을 k로 나타내기
따라서 자릿수 합이 길이의 일차식이다.
7+(k-2)+0+4=k+9
8을 하나 더할 때마다 가운데 1이 정확히 하나 늘어나므로 합도 매번 1씩만 커진다.
8이 하나 늘 때마다 가운데에 1이 정확히 하나씩 더해지므로, 한 걸음마다 자릿수 합이 1씩만 오른다.
▸ 왜?
수의 자리가 하나 늘면 모든 것이 한 단계 위 무게로 밀리고 새 숫자가 하나 끼어든다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
따라서 자릿수 합이 매번 같은 간격으로 오르므로, 공식 하나가 모든 경우를 덮는다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
4STEP 4
k에 대해 풀기
풀면 991, 보기 (D).
k+9=1000 → k=991 → (D)
자리 숫자의 합이 깔끔한 식 k+9가 되면 k를 구하는 일은 +9를 되돌리는 것뿐이다.
6.EE.B.7Convert To Algebra정답
991
계산해 둔 경우로 식을 검사해 보자: k=3일 때 곱은 7104이고 자리 숫자의 합은 7+1+0+4=12인데, 식은 k+9=3+9=12를 준다. 일치하므로 k+9=1000을 믿으면 k=991이다. 보기 (D)는 999보다 살짝 작은 곳에 놓여 있어, 합이 k보다 아주 조금 큰 상황과도 잘 들어맞는다.
💡핵심 정리
작은 경우 몇 개를 곱해 자리 숫자의 패턴을 잡으면, 거대한 문제가 k+9=1000으로 줄어든다.
- 작은 경우 몇 개를 곱해 보기
- 자리 숫자의 패턴 읽기
- 자리 숫자의 합을 k로 나타내기
- k에 대해 풀기