AMC 10 · 2014 · #18

학년 11 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logarithm-propertiesdomain-restrictionexponential-functioninterval-arithmetic work-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesdomain-restriction

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

밑이 서로 다른 로그 다섯이 겹겹이 쌓여 있다. 그 식이 실수가 되는 구간의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

271

(D)

319

(E)

511

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

알고 있는 것은 전부 식의 바깥쪽에 있고, 모르는 x는 맨 아래에 있다. 그러니 자연스러운 진행 방향은 바깥에서 안쪽이다. 가장 바깥 로그가 말하는 것은 단 하나, 입력이 양수여야 한다는 것이다. 그 한 가지 사실이 바로 아래 층에 대한 조건으로 번역되고, 그것이 다시 번역되기를 네 번 하면 마침내 x에 대한 조건이 된다. 이 과정을 읽을 수 있게 정리하려고 먼저 다섯 층에 이름을 붙인다. 그러면 괄호가 네 겹으로 겹친 덩어리가 한 줄짜리 작은 문제 네 개로 갈라진다. 그런데 논증이 실제로 성립하는지를 가르는 부분은 더 미묘하다. 한쪽 방향 함의만 이어 붙이면 정의역이 어떤 구간 안에 들어 있다는 것만 증명될 뿐이다. 어떤 집합이 길이 15/256인 구간 안에 들어 있으면서도 길이가 훨씬 짧을 수 있고, 구멍이 뚫려 있어 길이라는 것이 아예 없을 수도 있다. 그래서 껍질을 벗기기 전에 로그 부등식 규칙 두 개를 필요충분조건 형태로 확정하고, 그것을 거꾸로 읽어도 되는지를 먼저 확인한다. 그러고 나면 각 단계가 집합의 상등이 되고, 마지막에 나온 구간이 정의역 그 자체가 된다. 끝으로 양 끝점과 안쪽 점 하나를 원래 식에 직접 넣어 본다. 바깥에서 안으로 간 논증은 기계를 앞으로 돌려 보는 것이 가장 확실한 확인이기 때문이다.

1STEP 1

다섯 층에 이름 붙이기

각 층에 자기 이름을 붙인다.

a=log₁/16x, b=log₁₆a, c=log₁/4b, d=log₄ c, f(x)=log₁/2d

2STEP 2

로그 규칙을 양방향으로 만들기

규칙이 양방향으로 작동해야 한다.

b ＞ 1: log_b t ＞ k ⇔ t ＞ b^k; 0 ＜ b ＜ 1: log_b t ＞ k ⇔ 0 ＜ t ＜ b^k

3STEP 3

첫 껍질 벗기기: c ＞ 1

첫 껍질은 값이 1보다 커야 한다고 요구한다.

f(x) 는 실수 ⇔ d ＞ 0 ⇔ log₄ c ＞ 0 ⇔ c ＞ 4⁰=1

4STEP 4

둘째 껍질: b ＜ 1/4

다음 껍질이 부등호를 뒤집는다.

c ＞ 1 ⇔ log₁/4b ＞ 1 ⇔ 0 ＜ b ＜ (1/4)¹=1/4

5STEP 5

셋째 껍질: 1 ＜ a ＜ 2

셋째 껍질이 깔끔한 범위를 준다.

0 ＜ b ＜ 1/4 ⇔ 16⁰ ＜ a ＜ 16¹/4 ⇔ 1 ＜ a ＜ 2, 16¹/4=(2⁴)¹/4=2

6STEP 6

넷째 껍질: x까지 내려가기

마지막 껍질이 변수 자체에 닿는다.

1 ＜ a ＜ 2 ⇔ (1/16)² ＜ x ＜ (1/16)¹ ⇔ 1/256 ＜ x ＜ 1/16

7STEP 7

양 끝과 가운데 확인하기

가운데 값 확인이 구간을 검증한다.

x=1/64: a=3/2, b≈0.1462, c≈1.387, d≈0.236, f≈2.08

8STEP 8

빼서 길이 구하기

빼면 길이가 15/256이다.

1/16-1/256=16/256-1/256=15/256

9STEP 9

기약분수로 만들고 더하기

그 분수는 이미 기약이므로 271이다.

15=3·5, 256=2⁸, gcd(15,256)=1, m+n=15+256=271

정답

271

정의역이 1보다 훨씬 왼쪽에 놓이는 것은 구조가 예고한 그대로다. 가장 안쪽 밑 1/16이 1보다 작으므로 log₁/16x를 1과 2 사이에 두라는 요구는 x를 (1/16)²과 (1/16)¹ 사이로 끌어내린다. 분모 256=2⁸이 나오는 것도 놀랍지 않다. 문제에 등장하는 밑이 모두 2의 거듭제곱이고 끝점이 1/16=2⁻⁴의 거듭제곱이기 때문이다. 가장 강한 확인은 선택지 자체다. 껍질을 벗기는 과정에서 나오는 특별한 수는 정확히 넷, 1, 1/4, 1/16, 1/256이고, 다섯 선택지는 모두 그중 두 개를 끝점으로 하는 구간의 길이다. (A) 19는 1/4-1/16=3/16, (B) 31은 1-1/16=15/16, (D) 319는 1/4-1/256=63/256, (E) 511은 1-1/256=255/256이고, 올바른 짝인 1/16-1/256=15/256만이 (C) 271이다. 오답 하나하나가 특정한 실수의 지문이다. 껍질을 한 층 일찍 멈추거나, 안쪽 층의 경계를 x의 경계인 양 그대로 끌고 내려오거나, 세 번의 뒤집힘 중 하나를 놓친 결과다. 이는 어중간한 추론이 우연히 정답에 닿는 일이 없다는 뜻이기도 하며, 두 끝점을 각각 따로 벌어야 한다는 뜻이다. 수치로도 확인하면, 안쪽 점 x=1/64는 모든 층을 여유 있게 통과한다. 반면 구간 왼쪽 바깥에 있는 x=2⁻¹³은 a=3.25 ＞ 2, b≈0.425 ＞ 1/4, c≈0.617 ＜ 1, d≈-0.348 ＜ 0이 되어 가장 바깥 로그에서 무너지는데, 이는 껍질 벗기기가 예측한 그대로다.

💡핵심 정리

로그는 양수만 받는다는 규칙 하나뿐인 바깥에서 출발해 그 요구를 한 층씩 아래로 밀어 내리되, 모든 단계를 되돌릴 수 있게 유지하면 정의역을 감싼 상자가 아니라 정의역 그 자체를 얻는다.

다섯 층에 이름 붙이기
로그 규칙을 양방향으로 만들기
첫 껍질 벗기기: c ＞ 1
둘째 껍질: b ＜ 1/4
셋째 껍질: 1 ＜ a ＜ 2
넷째 껍질: x까지 내려가기
양 끝과 가운데 확인하기
빼서 길이 구하기
기약분수로 만들고 더하기