AMC 10 · 2014 · #19

학년 8 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

quadratic-equationspolynomial-rootsinterval-arithmetic convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: quadratic-equationspolynomial-roots

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

유리수 계수가 범위 안에 있는 이차식이 정수 근을 가져야 한다. 그런 계수의 개수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

k를 직접 훑는 길은 막혀 있다. |k| ＜ 200인 유리수는 무한히 많고, 하나하나마다 해가 우연히 정수인지 확인해야 하기 때문이다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)으로 초점을 옮긴다. 정수 해 쪽에 이름을 붙이고(도구 #4, 변수 도입하기) k는 그 해가 강제하는 값으로 두는 것이다. 그러면 미지수가 정수 위를 움직이므로 나열할 수 있게 된다. 남는 질문은 둘이고 각각 도구가 다르다. 정수 해가 어디까지 커져야 |k|가 200에 닿는가(도구 #14, 경계 살피기), 그리고 서로 다른 해가 정말 서로 다른 k를 주는가(해의 목록을 k의 목록으로 세기 전에 반드시 확인해야 한다, 도구 #2)이다.

1STEP 1

정수 해에 이름 붙이기

근에 이름을 붙이면 계수가 바로 나온다.

5n²+kn+12=0, n ≠ 0

2STEP 2

n 쪽으로 초점 옮기기

탐색이 근 쪽으로 옮겨간다.

k=-(5n²+12)/n=-5n-12/n

3STEP 3

n을 경계까지 밀어 보기

범위가 깔끔한 경계에서 걸린다.

n ≥ 40: |k|=5n+12/n ＞ 200; 3 ≤ n ≤ 39: |k| ≤ 195+4=199 ＜ 200

4STEP 4

음의 해로 대칭 옮기기

음의 근은 양의 근을 거울처럼 옮긴 것이다.

k(-n)=5n+12/n=-k(n), |k(-n)|=|k(n)|

5STEP 5

겹치는 k가 있는지 확인하기

서로 다른 근이 같은 계수를 주지 않는다.

5=12/mn → mn=12/5 ∉Z

6STEP 6

k의 개수 세기

총 개수는 78, 보기 (E).

N=39+39=78 → (E)

정답

목록의 양 끝을 직접 확인해 보자. n=1이면 k=-17이고 5x²-17x+12=(5x-12)(x-1)이므로 정수 해 x=1이 실제로 있다. n=-39이면 k=195+12/39=2539/13≈ 195.31로 200보다 작고, 바로 다음인 n=-40은 k=200.3으로 200을 넘는다. 그러므로 39가 옳은 경계이다. 작은 선택지들은 함정이다. k 자체가 정수여야 한다고 잘못 읽으면 n이 12의 약수여야 하므로 n=± 1,± 2,± 3,± 4,± 6,± 12만 남아 답이 12가 된다. 문제는 정수가 아니라 유리수라고 했으므로 개수는 훨씬 커야 하고, 그 사정을 반영하는 선택지가 78이다.

💡핵심 정리

k를 찾아 헤매지 말고 정수 해를 먼저 고르면, k=-5n-12/n은 따라올 수밖에 없다.

정수 해에 이름 붙이기
n 쪽으로 초점 옮기기
n을 경계까지 밀어 보기
음의 해로 대칭 옮기기
겹치는 k가 있는지 확인하기
k의 개수 세기