AMC 10 · 2014 · #2

학년 6 algebra
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up
linear-equations-one-varratio-proportiondecimal-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 가격이 다른 가격의 절반이고, 정해진 조합의 총액을 안다. 다른 조합의 총액을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\$35$
(B)
$\$38.50$
(C)
$\$40$
(D)
$\$42$
(E)
$\$42.50$
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

값이 두 개 떠 있지만 "어린이는 반값"이라는 문장이 하나를 다른 하나에 묶어 둡니다. 이것이 문제 전체의 경첩입니다: 미지수 두 개를 하나로 줄여 주고, 주어진 총액 하나로 정확히 결정할 수 있는 것이 바로 미지수 하나짜리 식입니다. 그래서 어른 표 값을 이름 붙이고(도구 #4), 24.50 짜리 구성을 식 하나로 옮긴 뒤(도구 #13) 풉니다. 그다음 두 번째 구성을 같은 "어른 표" 단위로 다시 셉니다(도구 #8). 이어서 두 구성을 어린이 표 단위로 다시 세어(도구 #15) 식을 전혀 쓰지 않는 다른 구조의 경로로 결과를 교차 확인하고, 마지막으로 선택지를 이용해(도구 #3) 한 번 더 막아 둡니다.

1STEP 1

값 하나를 이름 붙이면 둘 다 정해진다

이름 하나가 두 가격을 모두 준다.

a = 어른 표 값, 어린이 표 값 = a/2
2STEP 2

구성을 식으로 옮기기

아는 조합이 하나의 방정식이 된다.

5a + 4·a/2 = 5a + 2a = 7a = 24.50
3STEP 3

어른 표 값 구하기

풀면 큰 가격이 바로 나온다.

a = 24.50/7 = 3.50, a/2 = 1.75
4STEP 4

두 번째 구성의 값 계산

두 번째 조합의 값은 곧바로 따라 나온다.

8(3.50) + 6(1.75) = 28.00 + 10.50 = 38.50
5STEP 5

어린이 표 단위로 교차 확인

작은 단위로 세어도 확인된다, 보기 (B).

(22 (어린이 표 장수))/(14 (어린이 표 장수)) = 11/7, 24.50 × 11/7 = 38.50 → (B)
정답
38.50
먼저 구한 값을 주어진 구성에 넣어 확인합니다: 5(3.50) + 4(1.75) = 17.50 + 7.00 = 24.50으로 조건과 맞고, 3.50과 1.75는 센트 단위로 딱 떨어지는 그럴듯한 표 값입니다. 이제 이 논증이 실제로 무엇에 걸려 있는지 봅니다: "어린이는 반값"이라는 문장은 장식이 아니라 핵심입니다. 그 문장을 빼고 5a + 4c = 24.50만 안다고 해 봅시다. 그러면 c = (24.50 - 5a)/4이고, 구하려는 총액은 8a + 6c = 8a + (6(24.50 - 5a))/4 = 36.75 + a/2가 되어 여전히 a 에 따라 달라집니다 — 예를 들어 a = 4.00이면 c = 1.125이고 총액은 38.50이 아니라 38.75입니다. 즉 식 하나만으로는 답이 정해지지 않으며, 여기서 답이 정해지는 이유는 반값 조건이 미지수 둘을 하나로 접어 7a = 24.50을 바로 풀리게 만들기 때문입니다. 그리고 이 답이 필요조건에 그치지 않고 실제로 옳다는 확인은 마지막 단계의 두 번째 경로가 해 줍니다 — 그 경로는 첫 번째 경로의 a 값을 전혀 쓰지 않고 38.50을 다시 얻습니다.
💡핵심 정리

한쪽 값이 다른 쪽 값의 정해진 배수일 때는 구성 전체를 한 종류의 표로 재세요 — 그러면 섞인 주문이 곱셈 한 번으로 끝납니다.

  • 값 하나를 이름 붙이면 둘 다 정해진다
  • 구성을 식으로 옮기기
  • 어른 표 값 구하기
  • 두 번째 구성의 값 계산
  • 어린이 표 단위로 교차 확인

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