AMC 10 · 2014 · #20

학년 11 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure

reflection-symmetryreflection-unfoldingpath-length-comparisonlaw-of-cosines reflection-unfoldingspatial-visualizationextreme-principle ↑ 선수 지식: reflection-symmetrylaw-of-cosines

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

꺾인 경로가 끝점이 고정된 채 각의 두 변 사이를 오간다. 가장 짧은 전체 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6\sqrt 3+3$

(B)

$\dfrac{27}2$

(C)

$8\sqrt 3$

(D)

(E)

$3\sqrt 3+9$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

BE+DE+CD는 고정된 점 B에서 고정된 점 C까지 가는 하나의 경로인데, 도중에 반드시 변 AC(E에서)와 변 AB(D에서)를 찍고 가야 한다. 직선에 튕기며 가는 경로는 그 튕김을 펴서 곧게 만들 때 가장 짧아지므로, 두 고정 끝점을 두 변에 대해 대칭이동시키는 것이 핵심 수(도구 #17)다. 대칭이동은 길이를 그대로 두면서 꺾인 경로를 두 고정점 사이의 경로로 바꿔 주고, 그러면 '직선이 가장 짧다'를 쓸 수 있다. 여기까지가 하계다. 그러나 하계만으로는 답이 아니다. 허용된 D, E가 그 값에 실제로 도달해야만 최솟값이다(극단 상황을 다루는 도구 #14). 그래서 계획은 두 부분이다. 먼저 합을 하나의 선분 길이로 아래에서 막고, 다음으로 그 선분이 정말로 AB와 AC의 내부를 가로지름을 증명한다. 길이 계산은 하나의 삼각형에 코사인법칙과 사인법칙을 적용해 얻는다(도구 #7, #4).

1STEP 1

하나의 튕기는 경로로 보기

세 선분이 하나의 경로를 이룬다.

BE + DE + CD = 경로 B → E → D → C 의 길이

2STEP 2

고정된 두 끝점을 대칭이동하기

끝점을 대칭이동해도 모든 길이가 유지된다.

EB = EB' (∀ E ∈ AC), DC = DC' (∀ D ∈ AB) → BE + DE + CD = B'E + ED + DC'

3STEP 3

각을 120도로 펼치기

그러면 각이 120도로 펼쳐진다.

∠ C'AB' = ∠ C'AB + ∠ BAC + ∠ CAB' = 40° + 40° + 40° = 120° ＜ 180° AC' = 6, AB' = 10

4STEP 4

직선이 꺾임을 이긴다: 하계

직선이 하한을 준다.

BE + DE + CD = B'E + ED + DC' ≥ B'D + DC' ≥ B'C'

5STEP 5

그 직선 선분의 길이 재기

코사인법칙이 그것을 14로 잰다.

B'C'² = 10² + 6² - 2 · 10 · 6 cos 120° = 100 + 36 + 60 = 196 B'C' = 14 → BE + DE + CD ≥ 14

6STEP 6

하계에 실제로 닿는지, 순서까지 확인

교점이 올바른 순서로 나온다.

A에서 본 방향: AC' = 0°, AB = 40°, AC = 80°, AB' = 120° 선분 C'B'은 반직선 AB와 D₀에서, 이어서 반직선 AC와 E₀에서 만난다

7STEP 7

교점이 변 안쪽에 떨어지는지 확인

그것이 변 안에 떨어지므로 14에 닿는다.

AE₀ = (10sin∠ AB'C')/(sin(40° + ∠ AB'C')) = 30√3/(13sin 40° + 3√3cos 40°) ＜ 60√3/(13 + 3√6) ≈ 5.11 ＜ 6 AD₀ = (6sin∠ AC'B')/(sin(40° + ∠ AC'B')) = 30√3/(11sin 40° + 5√3cos 40°) ＜ 60√3/(11 + 5√6) ≈ 4.47 ＜ 10 → min(BE+DE+CD) = 14 → (D)

정답

위아래 양쪽에서 답을 가늠해 보자. D=E=A는 허용된 선택이고 BE+DE+CD = 10+0+6 = 16을 준다. 따라서 진짜 최솟값은 많아야 16인데, 답 14가 그 바로 아래에 놓이는 것은 여전히 두 변을 모두 찍어야 하는 경로치고 그럴듯하다. 아래쪽으로는 B에서 C로 가는 어떤 경로든 BC = √(100+36-120cos 40°) ≈ 6.64 이상인데, 튕기는 값이 추가되므로 14가 그보다 넉넉히 큰 것도 당연하다. 최적 위치를 다시 대입해 보면 AD₀ ≈ 3.791, AE₀ ≈ 4.212일 때 BE ≈ 7.294, DE ≈ 2.766, CD ≈ 3.940으로 합이 14.000이다. 하계에 다가가는 정도가 아니라 정확히 닿는다. 이 점검이 크게 알려 주는 경고가 하나 있다. 선택지는 13.39, 13.50, 13.86, 14, 14.20으로 서로 종이 한 장 차이라 소수 어림으로는 고를 수 없다. 결정을 짓는 것은 정확한 196 = 14²이고, 이 완전제곱수 자체가 120° 배치가 출제 의도였다는 신호다.

💡핵심 정리

고정된 두 끝을 두 변에 대해 거울로 비추면 튕기던 경로가 하나의 직선 선분으로 펴지고 그 길이가 답이 된다. 단, 그 선분이 정말 두 변을 가로지르는지 확인한 뒤에야 그렇다.

하나의 튕기는 경로로 보기
고정된 두 끝점을 대칭이동하기
각을 120도로 펼치기
직선이 꺾임을 이긴다: 하계
그 직선 선분의 길이 재기
하계에 실제로 닿는지, 순서까지 확인
교점이 변 안쪽에 떨어지는지 확인