AMC 10 · 2018 · #11
학년 8 geometry-2d reflection-symmetryperpendicular-bisectorsimilar-trianglespythagorean-theorempaper-folding reflection-unfoldingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: reflection-symmetrysimilar-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
종이 삼각형의 세 변의 길이가 3, 4, 5인치이므로 직각삼각형입니다. 꼭짓점 A가 꼭짓점 B에 정확히 포개지도록 한 번 접습니다. 접어서 생긴 주름선의 길이를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$1+\frac12 \sqrt2$
(B)
$\sqrt3$
(C)
$\frac74$
(D)
$\frac{15}{8}$
(E)
2
풀이 과정
전략 공간 상상하기
도구 #17 (공간 상상하기): 접기를 거울로 떠올린다. A를 B에 포개는 접기는 A를 B로 보내는 거울선이므로, 주름선은 반드시 선분 AB의 수직이등분선이 된다. 도구 #1 (그림 그리기): 그 선을 그리면 꼭짓점 A 쪽에 작은 직각삼각형이 나타난다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 그 작은 삼각형이 전체 3-4-5 삼각형과 닮음임을 알아챈다. 도구 #4 (변수 도입하기): 주름선 길이를 미지수로 두고 비례식 하나에서 읽어낸다.
1STEP 1
접기를 거울로 읽기
접기를 거울로 읽습니다.
주름선 = AB의 수직이등분선
접기는 반사이고, 반사의 거울선은 점과 그 상을 잇는 선분의 수직이등분선과 정확히 같다.
접기는 대칭이동이며, 그 거울선은 어떤 점과 그 상의 수직이등분선이다.
▸ 왜?
어떤 점과 그 상에서 같은 거리에 있는 점들이 바로 그 접는 선을 이룬다.
접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
▸ 왜?
대칭이동은 종이를 늘리지 않고 옮기므로, 접어도 모든 길이가 그대로 남는다.
강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
2STEP 2
주름선 위치 잡기
주름선은 수직이등분선입니다.
AM=AB/2=5/2
주름선의 양 끝점은 수직이등분선이 삼각형으로 들어오고 나가는 자리일 뿐이다.
8.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
닮은 삼각형 찾기
직각 두 개가 닮은 삼각형을 만듭니다.
△ AMP ∼ △ ACB
A에서 공유하는 각에 각 삼각형의 직각이 더해지면 두 삼각형은 같은 모양이 된다.
8.G.A.5Identify Subproblems4STEP 4
비례식 세우고 풀기
비례식을 풀면 8분의 15입니다.
MP/3=5/2/4 → MP=15/8 → (D)
닮은 삼각형은 하나의 닮음비를 공유하므로, 비례식 하나로 모르는 길이가 풀린다.
7.RP.A.2Introduce A Variable정답
15/8
주름선은 15/8=1.875인치이다. 가장 짧은 변이 3인 삼각형 내부에 놓이므로 2인치 미만의 주름선은 자연스럽다. 좌표로 확인해도 일치한다: A=(0,0), B=(4,3), C=(4,0)이면 중점은 M=(2,3/2)이고, 수직이등분선(기울기 -4/3)은 변 AC와 (25/8,0)에서 만난다. M에서 그 점까지 거리는 √((9/8)²+(3/2)²)=√(225/64)=15/8로 정확히 같다.
💡핵심 정리
접기는 곧 거울이라서 주름선은 포개진 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이다. 그러면 닮은 삼각형 한 쌍이 비례식 하나를 답 15/8, 보기 (D)로 바꿔 준다.
- 접기를 거울로 읽기
- 주름선 위치 잡기
- 닮은 삼각형 찾기
- 비례식 세우고 풀기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
