AMC 10 · 2023 · #15

학년 10 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure

trigonometric-ratioscoordinate-geometrypath-length-comparisonline-symmetry reflection-unfoldingphysical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: trigonometric-ratioscoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 운동장의 긴 변이 100미터이고 짧은 변이 30미터입니다. 한 사람이 한 모퉁이에서 출발해 직선으로 걸어 긴 변에 닿고, 거기서 꺾어 다시 직선으로 걷기를 반복하다가 짧은 변 위의 어느 점에서 멈춥니다. 매번 꺾을 때 각 구간이 긴 변과 이루는 각이 모두 같습니다. 걸은 전체 거리가 정확히 120미터가 되게 하는 그 각을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\arccos\frac{5}{6}$

(B)

$\arccos\frac{4}{5}$

(C)

$\arccos\frac{3}{10}$

(D)

$\arcsin\frac{4}{5}$

(E)

$\arcsin\frac{5}{6}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

구간을 하나씩 따라가는 방식은 가망이 없어 보인다. 문제가 구간이 몇 개인지 끝내 말해 주지 않기 때문이다. 그런데 바로 그 침묵이 힌트다. 계산 결과가 구간 수에 의존해서는 안 된다는 뜻이니까. 구간 수를 지우는 방법은 두 가지다. 첫째는 공간적인 방법이다. 경로가 긴 변에서 튕기게 두는 대신, 그 변을 기준으로 운동장 전체를 대칭시켜 경로가 거울 속 복사본으로 곧장 이어지게 한다. 그러면 모든 꺾임이 펴지고 지그재그 전체가 하나의 직선이 되며, 그 직선의 길이가 곧 걸은 거리다. 둘째는 관점을 바꾸는 방법이다. 평면 위를 헤매는 움직임은 잊고 오른쪽으로 나아간 양만 본다. 모든 구간이 같은 각 θ로 기울어 있으므로 각 구간은 자기 길이의 같은 비율 cosθ만큼을 전진에 쓰고, 그 비율들은 구간이 몇 개든 그대로 더해진다. 이렇게 하면 '걸은 총거리'가 곱셈 한 번으로 '오른쪽으로 나아간 총거리'가 된다. 마지막 조각이 진짜로 답을 못 박는다. 걷기가 BC 위에서 끝나야 한다는 조건이 오른쪽 총 이동량을 정확히 100으로 고정해, 미지수 하나짜리 식 하나만 남기기 때문이다. 폭 30은 끝까지 등장하지 않는다. 그것은 구간이 몇 개가 되는지만 결정하는데, 문제가 애초에 신경 쓰지 말라고 한 바로 그 값이다.

1STEP 1

운동장을 좌표에 얹기

네 모퉁이에 좌표를 붙입니다.

A=(0,0), B=(100,0), C=(100,30), D=(0,30)

2STEP 2

꺾임 펴기

거울에 비추면 직선이 됩니다.

y=30 에서의 꺾임 ⟷ y=30 에 대한 운동장의 대칭 ⟹ 지그재그 → 각 θ 의 직선

3STEP 3

오른쪽 진행량만 보기

꺾인 횟수는 전혀 상관없습니다.

구간 i 의 전진량 = ℓ_icosθ ⟹ Σ_i ℓ_icosθ = (Σ_i ℓ_i)cosθ = Lcosθ

4STEP 4

끝나는 위치가 총합을 정한다

짧은 변에서 끝나므로 진행량이 정해집니다.

x_끝 - x_A = 100 - 0 = 100 ⟹ Lcosθ = 100

5STEP 5

식 하나 풀기

식 하나가 코사인 값을 줍니다.

120cosθ = 100 ⟹ cosθ = 100/120 = 5/6 ⟹ θ = arccos5/6 ≈ 33.56°

6STEP 6

경로를 실제로 그려 보기

실제로 그려 길이를 확인합니다.

(0,0)→(150/√(11),30)→(300/√(11),0)→(100, 20√(11)-60); 180/√(11)+180/√(11)+(120-360/√(11))=120

7STEP 7

다른 선택지 검사

나머지는 다른 총합을 주어 답은 코사인이 6분의 5인 각입니다.

L=100/cosθ: arccos5/6→ 120, arccos4/5→ 125, arccos3/10→ 1000/3, arcsin4/5→ 500/3, arcsin5/6→ 600/√(11)

정답

arccos(5/6)

먼저 크기 감각부터 보자. 100미터짜리 운동장을 건너려고 120미터를 걸었다면 겨우 20% 늘린 것이므로 구간은 가파르지 않고 완만하게 기울어야 하는데, arccos5/6≈ 33.56°는 실제로 완만한 기울기다. arccos3/10≈ 72.54°처럼 가파른 지그재그라면 운동장을 몇 번이고 가로지르며 운동장 길이의 세 배가 넘는 거리를 쌓게 되는데, 목록에서 333.33미터로 확인된다. 다음으로 공식 L=100/cosθ의 양 극단을 확인한다. θ→ 0이면 L→ 100으로 긴 변을 따라 곧장 걷는 경우가 되고, θ→ 90°이면 값이 발산하는데 이는 위아래로만 오가며 BC에 영영 닿지 못하는 사람과 맞아떨어진다. 답은 그 사이에 알맞게 놓인다. 이제 풀이를 떠받치는 가정을 흔들어 보자. 전체 풀이는 가로 이동량이 정확히 100이라는 데 걸려 있고, 그 근거는 오직 '선분 BC 위에서 끝난다'는 문구뿐이다. 6단계는 그 주장을 가장 확실한 방법으로 검증했다. 구간 세 개짜리 경로가 BC의 높이 20√(11)-60≈ 6.33미터 지점에서 끝나고, 구간 길이는 약 54.27, 54.27, 11.46미터로 합이 120.00이다. 도착점이 [0,30] 안에 있으므로 이 경로는 규칙에 맞고, 따라서 답은 식으로만 강요된 것이 아니라 실제로 실현 가능하다. 풀이가 끝내 필요로 하지 않은 값도 눈여겨볼 만하다. 바로 폭 30이다. 폭을 바꾸면 구간 수와 꺾이는 위치는 달라지지만 θ는 그대로다. 문제가 구간 수는 그림과 다를 수 있다고 태연히 말할 수 있었던 이유가 바로 이것이다. 마지막으로 오답들도 해석된다. arccos4/5는 같은 질문에서 거리가 125일 때의 답이고, arcsin4/5는 그 잘못된 쌍에 코사인 대신 사인을 쓴 것이며, arcsin5/6은 정답의 여각으로 5/6을 이웃변이 아니라 맞은편 변에 맞춘 대가다. 선택지에 arccos5/6과 arcsin5/6이 나란히 있다는 것은 결국 100이 θ에 이웃한 변인지 맞은편 변인지를 조용히 묻는 것이고, 1단계가 그 답을 정해 주었다. θ는 긴 변에서 재는 각이므로 100은 그 옆에 나란히 놓인다.

💡핵심 정리

경로가 꺾이더라도 기울기가 매번 같다면 꺾임은 잊고 앞으로 나아간 양만 세면 된다. 구간마다 앞을 향하는 몫이 똑같으므로 전체 여정이 직선 하나처럼 움직인다.

운동장을 좌표에 얹기
꺾임을 펴서 하나의 직선으로
오른쪽으로 나아간 양만 보기
BC에서 끝난다는 조건이 100을 확정한다
식 하나를 풀기
경로를 실제로 그려서 재 보기
나머지 네 선택지 검사하기