AMC 10 · 2014 · #21

학년 11 algebra

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Product Ratio Cancellation

floor-functionlogarithm-propertiestelescoping-suminterval-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: floor-functionlogarithm-properties

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

바닥함수가 각 단위 구간에서 고정되고, 조건이 각 구간의 일부에서 성립한다. 길이를 모두 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\dfrac{\log 2015}{\log 2014}$

(C)

$\dfrac{\log 2014}{\log 2013}$

(D)

$\dfrac{2014}{2013}$

(E)

$2014^{\frac1{2014}}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

f를 어렵게 만드는 것은 바닥 함수 하나뿐이고, 바닥 함수는 이웃한 두 정수 사이에서 값이 변하지 않는다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 x를 두 부분으로 나누어 이름 붙인다: k=⌊ x⌋와 소수 부분 t=x-k. 구간 k ≤ x ＜ k+1 위에서는 k가 고정되고, f는 평범한 지수식 k(2014^t-1)로 바뀐다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 로그를 써서 f(x) ≤ 1을 t에 대해 푼다. 도구 #14(극단의 원리)는 이 문제가 숨겨 둔 두 경계 질문에 일부러 쓴다: 오른쪽 끝점이 포함되는가(부등호가 등호를 허용하므로 포함된다), 그리고 남는 조각이 최대 얼마나 긴가(다음 블록까지 절대 닿지 않을 만큼 짧으며, 바로 이것이 구간들이 겹치지 않아 길이를 더할 수 있는 이유다). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 어떤 블록이 실제로 존재하는지를 정하는데, 여기서 엄격한 부등식 x ＜ 2014가 결정적이다. 도구 #5(패턴 찾기)가 마무리한다: 길이들이 (k+1)/k의 로그이고, 그 곱은 연쇄적으로 약분된다.

1STEP 1

블록마다 바닥 함수를 고정하기

각 구간에서 바닥함수는 상수다.

x=k+t, k=⌊ x⌋inZ, 0 ≤ t ＜ 1 ⟹ f(x)=k(2014^t-1)

2STEP 2

로그로 부등식 풀기

로그가 부등식을 정확히 푼다.

k(2014^t-1) ≤ 1⇔ 2014^t ≤ (k+1)/k⇔ t ≤ log₂₀₁₄ (k+1)/k

3STEP 3

끝점 확인 후 겹치지 않음 확인

각 조각은 자기 구간 안에 머물 만큼 짧다.

f(k)=0, f (k+log₂₀₁₄ (k+1)/k)=1; 길이_k=log₂₀₁₄ (k+1)/k ≤ log₂₀₁₄₂≈ 0.0911 ＜ 1

4STEP 4

존재하는 블록 나열하기

구간들이 아는 범위를 훑는다.

1 ≤ x ＜ 2014 ⟹ k∈{1,2,…,2013}

5STEP 5

길이를 더하면 곱이 약분된다

곱이 무너져 1이 남는다, 보기 (A).

Σ_k=1²⁰¹³log₂₀₁₄ (k+1)/k=log₂₀₁₄Π_k=1²⁰¹³(k+1)/k=log₂₀₁₄ 2014/1=1 ⟹ (A)

정답

먼저 크기 감각을 확인한다. 각 길이 log₂₀₁₄ (k+1)/k는 양수이면서 최대 log₂₀₁₄₂≈ 0.0911이고 빠르게 줄어든다(k=2013에서는 약 0.0000653). 그러니 2013개를 더해 1 부근의 값이 나오는 것은 자연스럽고, 실제로 수치로 더하면 소수점 아래 열두 자리까지 1.000000000000이 나온다. 값을 정확히 1로 고정하는 것은 두 가지 경계 판단이다. 오른쪽 끝점을 뺐다면 구간이 반열린구간이 될 뿐 길이는 그대로이므로 등호가 붙은 ≤ 는 안전하다. 반면 엄격한 x ＜ 2014를 x ≤ 2014로 잘못 읽으면 길이 log₂₀₁₄ 2015/2014인 블록 k=2014가 합에 끼어들어 총합이 log₂₀₁₄₂₀₁₅=(log 2015)/(log 2014), 즉 보기 (B)가 된다. 보기 (B), (C), (D), (E)는 모두 1보다 아주 조금 큰 값이므로 이 문제의 함정들이 바로 그것이며, 정확히 1이 나왔다는 사실이 블록 목록을 옳은 곳에서 멈췄음을 확인해 준다. k=1에서 확인하면 구간은 [1, 1+log₂₀₁₄₂]이고 오른쪽 끝에서 f(x)=1·(2-1)=1이므로 주장대로 f(x) ≤ 1을 만족한다.

💡핵심 정리

블록마다 바닥값을 고정하면 남는 부분은 k에서 시작하는 길이 log₂₀₁₄ (k+1)/k짜리 짧은 조각이고, 그 분수들을 모두 곱하면 2014가 되므로 조각 전체의 길이는 정확히 1이다.

블록마다 바닥 함수를 고정하기
로그로 부등식 풀기
끝점 확인 후 겹치지 않음 확인
존재하는 블록 나열하기
길이를 더하면 곱이 약분된다

블록마다 바닥 함수를 고정하기

로그로 부등식 풀기

끝점 확인 후 겹치지 않음 확인

존재하는 블록 나열하기

길이를 더하면 곱이 약분된다

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