AMC 10 · 2014 · #22
학년 8 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
수천 개에 이르는 순서쌍 (m,n)을 하나하나 좇는 것은 불가능하므로, 문제 전체를 작은 연립방정식으로 바꾸는 것이 계획이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 '순서쌍 세기'를 '2의 거듭제곱 세 개를 품는 구간 (5ⁿ,5ⁿ⁺¹) 세기'로 다시 본다. 그런 구간 하나가 순서쌍 하나를 정확히 만들기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세기를 유한하게 만드는 두 사실을 준다: 모든 구간은 2의 거듭제곱을 2개 또는 3개만 품는다(4 ＜ 5 ＜ 8이므로), 그리고 주어진 기준 2²⁰¹³ ＜ 5⁸⁶⁷ ＜ 2²⁰¹⁴이 구간의 개수와 2의 거듭제곱의 개수를 확정한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 두 종류의 구간을 a와 b로 두고 '전체 구간 수'와 '전체 거듭제곱 수'를 두 개의 일차방정식으로 적어 푼다. 어려움 전체가 한 식에서 다른 식을 빼는 것으로 무너진다.
구간마다 2의 거듭제곱은 두 개 또는 세 개
한 구간은 둘 아니면 셋만 담는다.
5가 4와 8 사이에 있으므로 5배 한 걸음은 2배 두 걸음 또는 세 걸음과 같다.
5는 4와 8 사이에 있으므로, 5로 한 걸음 오르는 것은 2로 두 걸음이나 세 걸음 오르는 것과 같다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 두 사다리는 정해진 그러나 서로 다른 속도로 오른다.
▸ 왜?
5가 2의 제곱과 2의 세제곱 사이에 엄격히 있으므로, 5의 각 구간에는 두 배가 두 번이나 세 번만 들어간다.
목표를 '거듭제곱 3개 구간'으로 다시 쓰기
목표는 정확히 셋을 담은 구간의 개수다.
2배를 세 번 넣을 만큼 넉넉한 구간이 순서쌍 하나를 주므로, 순서쌍 대신 넉넉한 구간을 센다.
6.EE.B.5Change Focus Count The Complement구간과 2의 거듭제곱 개수 세기
두 총계를 세면 방정식이 둘 나온다.
5의 거듭제곱과 2의 거듭제곱을 순서대로 늘어놓고, 범위 안에 각각 몇 개가 드는지 읽으면 된다.
6.NS.C.7Identify Subproblems두 방정식을 세워 풀기
풀면 279, 보기 (B).
두 개의 합계 — 구간 수와 거듭제곱 수 — 가 두 미지의 개수를 정확히 못박는다.
8.EE.C.8Introduce A Variable5의 거듭제곱 사이의 각 틈은 2의 거듭제곱을 2개 또는 3개 품는다. 두 합계 — 틈 867개와 거듭제곱 2013개 — 가 넉넉한 세-거듭제곱 틈이 정확히 279개임을 못박는다.
- 구간마다 2의 거듭제곱은 두 개 또는 세 개
- 목표를 '거듭제곱 3개 구간'으로 다시 쓰기
- 구간과 2의 거듭제곱 개수 세기
- 두 방정식을 세워 풀기