AMC 10 · 2014 · #24
학년 9 algebracounting답을 골라 클릭하세요.
f₁₀₀을 식으로 직접 써 내는 것은 불가능하므로, 문제를 자연스러운 이음매를 따라 둘로 가른다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 '함수 전체를 100번 반복하기'를 '수 하나를 t↦ |t|-1 규칙으로 100번 굴리기'로 바꾼다. 첫 단계 이후로는 결과가 오직 f₀(x)라는 수 하나에만 달려 있기 때문이다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 그 쉬워진 문제를 반대 방향으로 돌린다. f₁,f₂,f₃의 그림을 보고 f₁₀₀의 모양을 짐작하는 대신, 정확히 100번 뒤에도 여전히 0 위에 있는 출발값이 무엇인지 묻고 그것을 증명으로 답한다 — 출발값은 크기가 100 이하인 짝수여야 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 수직선을 x=-100과 x=100에서 끊어 f₀을 세 개의 직선 조각으로 펼친다. 그러면 허용된 목표값 하나는 조각마다 최대 한 번씩만 맞을 수 있다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리한다. 허용된 목표값을 늘어놓고, 각각에 대응하는 x가 몇 개인지 세어 더한다. 그래프에서 패턴을 미루어 짐작하는 것보다 역상을 정확히 세는 편이 낫다. 이 문제의 어려움은 전부 세 조각 중 두 개가 겹치는 두 끝점에 들어 있기 때문이다.
f₀을 세 직선으로 펼치기
첫 함수는 직선 세 조각이다.
절댓값은 결국 '거리'이므로, 100과 -100의 어느 쪽에 있는지만 정하면 막대가 모두 벗겨지고 직선만 남는다.
6.NS.C.7Identify Subproblems수 하나를 규칙에 따라 좇기
수 하나를 좇으면 무엇이 살아남는지 보인다.
이 규칙은 수를 한 걸음에 1씩 0 쪽으로 걸어 내리므로, 정확히 0에 착지하는 것은 정수뿐이고 나머지는 0을 지나쳐 영원히 튕긴다.
그 규칙은 수를 한 걸음에 한 단위씩 0을 향해 내려보내므로, 홀짝이 맞아야 정확히 0에 닿는다.
▸ 왜?
각 걸음이 같은 만큼 값을 바꾸므로, 여러 걸음 뒤의 자리를 온전히 내다볼 수 있다.
▸ 왜?
0에서 홀수만큼 떨어진 수는 0을 뛰어넘을 뿐 그 위에 설 수 없으므로, 홀짝이 모든 것을 정한다.
f₁₀₀(x)=0을 f₀의 조건으로 바꾸기
목표가 첫 값의 짧은 목록이 된다.
정확히 100단계 뒤에 0 위에 있으려면 0까지 닿을 만큼 가까워야 하고, -1이 아니라 0에 서 있도록 홀짝이 맞아야 한다.
9.F-IF.A.2Work Backwards조각마다 f₀(x)=v 풀기
각 값을 각 조각에서 푼다.
가로선은 지그재그의 기울어진 조각마다 한 번씩 자르는데, 두 조각이 한 점에서 만나는 봉우리와 골짜기에서만 예외다.
8.EE.C.7Identify Subproblems목표값을 세어 더하기
개수를 더하면 301, 보기 (C).
허용된 높이는 거의 모두 세 번씩 맞고, 극단의 두 높이만 두 번씩 맞는다. 보정은 그것이 전부다.
6.NS.C.6Make A Systematic List'크기를 재고 1 빼기' 규칙은 수를 한 걸음씩 0까지 걸어 내리므로, 100단계 뒤에 0 위에 있으려면 출발값이 100 이하의 짝수여야 한다. 그다음 그런 출발값을 만드는 x를 세면 된다 — 봉우리와 골짜기만 빼고 하나당 세 개씩.
- f₀을 세 직선으로 펼치기
- 수 하나를 규칙에 따라 좇기
- f₁₀₀(x)=0을 f₀의 조건으로 바꾸기
- 조각마다 f₀(x)=v 풀기
- 목표값을 세어 더하기