AMC 10 · 2014 · #6
학년 7 number-theoryalgebra답을 골라 클릭하세요.
"숫자를 뒤집는다"는 말은 두 자리 숫자가 각각 따로 떨어진 대상이 되어야 다룰 수 있습니다. 그래서 도구 #4로 그 둘을 a, b라 이름 붙이고, 도구 #13으로 자릿값을 대수로 옮깁니다: N = 10a+b, M = 10b+a. 그러면 문제의 모든 표현이 식이 됩니다 — 차이는 9(a-b), 자릿수 합은 a+b, 구하라는 값은 11(a+b). 퍼즐 전체가 일차방정식 하나로 줄어듭니다. 미지수 두 개에 방정식 하나면 보통은 손을 못 대지만, 도구 #3이 부족한 조건을 채워 줍니다: a와 b는 자리 숫자라서 짧은 정수 목록 안에만 있을 수 있고, 2a = 7b는 그 목록에서 딱 하나만 남깁니다. 그다음 도구 #6이 빠뜨리기 쉬운 일을 합니다 — 후보를 원래 문장에 되돌려 넣어, "이런 모양일 수밖에 없다"가 아니라 "그런 수가 실제로 있다"를 확인하는 것이죠. 마지막으로 도구 #16으로 두 수의 역할을 바꿔 논증을 한 번 더 돌려, 문장의 애매함을 덮습니다.
자리 숫자에 이름 붙이기
두 자릿수가 두 수를 모두 설명한다.
자리 숫자에 이름이 붙는 순간 "숫자를 뒤집어라"는 동작이 아니라, 같은 두 문자로 만든 또 하나의 식일 뿐입니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable문장을 식으로 옮기기
그 문장이 깔끔한 방정식 하나가 된다.
뒤집기는 각 숫자를 십의 자리와 일의 자리 사이에서 옮기는 것이라, 자릿수 차 1당 10 - 1 = 9만큼 흔들립니다.
뒤집으면 각 숫자가 십의 자리와 일의 자리를 오가며, 자릿수 차 한 단위마다 9만큼 흔들린다.
▸ 왜?
두 자리 수는 십의 자릿수에 10을 곱한 것에 일의 자릿수를 더한 것이므로, 바꾸면 그 무게가 바뀐다.
▸ 왜?
두 수는 같은 두 자릿수를 지니므로, 공통된 것은 모두 지워지고 무게 차이만 남는다.
2a = 7b로 줄이기
그것이 작은 비로 줄어든다.
방정식 하나로 미지수 두 개를 정할 수는 없지만 둘의 비는 묶을 수 있고, 비에 "자리 숫자여야 한다"를 더하면 충분합니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra자리 숫자 확정하기
나누어떨어짐이 두 자릿수를 정한다.
방정식 한쪽에 있는 7은 반대쪽에서도 7이 받쳐 줘야 하는데, 2는 그 역할을 못 합니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities정말 성립하는지 확인하기
다시 넣으면 확인된다.
해가 어떤 모습이어야 하는지 유도하는 일과 해가 존재함을 보이는 일은 별개이고, 두 번째에는 방정식이 아니라 진짜 수가 필요합니다.
4.NBT.B.4Guess And Check반대 방향 경우 처리하기
반대 방향도 같은 쌍을 준다.
어떤 수와 그 뒤집은 수는 순서 없는 한 쌍이라, 어느 쪽에서 어느 쪽을 빼든 둘의 합은 달라지지 않습니다.
7.EE.B.4Change Focus Count The Complement묻는 값 답하기
둘의 합은 99, 보기 (D).
어떤 수와 그 뒤집은 수를 더하면 각 숫자가 십의 자리와 일의 자리를 한 번씩 맡게 되어, 자릿수 합의 11배가 됩니다.
1.NBT.B.2Convert To Algebra두 자리 수를 뒤집으면 십의 자리와 일의 자리가 자리를 바꿀 뿐이라, 차이는 항상 자릿수 차의 9배이고 합은 항상 자릿수 합의 11배입니다 — 이 두 사실만 적어 두면 문제가 작은 방정식 하나로 바뀝니다.
- 자리 숫자에 이름 붙이기
- 문장을 식으로 옮기기
- 2a = 7b로 줄이기
- 자리 숫자 확정하기
- 정말 성립하는지 확인하기
- 반대 방향 경우 처리하기
- 묻는 값 답하기