AMC 10 · 2014 · #7
학년 11 algebrapattern답을 골라 클릭하세요.
세 항이 서로 관계없어 보이는 건 근호의 모양이 제각각이기 때문일 뿐이에요. 셋 다 같은 수 3의 거듭제곱근입니다. 그래서 도구 #15가 말합니다 — 하나의 공통 형식, 즉 3의 거듭제곱으로 모두 바꿔 쓰면 숨어 있던 구조가 드러납니다. 그다음 도구 #4로 빠진 값인 공비 r에 이름을 붙여, 등비수열의 정의를 추측 대신 실제로 적용합니다: 첫 두 항에서 r를 구하고, 같은 r가 둘째 항을 셋째 항으로 옮기는지 확인한 뒤에야 네 번째 항으로 나아갑니다. 도구 #5는 두 번째 독립적인 관점 — 지수들이 등차수열을 이룬다는 것 — 을 주지만, 이건 증명이 아니라 교차 확인용이에요. 수 세 개만으로는 규칙이 결코 확정되지 않으니까요. 마지막으로 도구 #3으로 보기와 대조합니다. 보기들은 엉뚱한 수열에서 규칙을 읽으면 걸려들도록 일부러 만들어져 있습니다.
모든 항을 밑 3으로 바꾸기
모든 항이 한 수의 거듭제곱이 된다.
모든 항이 같은 밑의 거듭제곱이 되면, 항끼리의 곱셈과 나눗셈은 지수의 덧셈과 뺄셈으로 바뀝니다.
모든 항이 같은 밑의 거듭제곱이 되면, 곱하고 나누는 일이 지수를 더하고 빼는 일이 된다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱을 합치면 그 횟수가 합쳐진다.
▸ 왜?
등비수열은 매 걸음 같은 수로 곱해지며, 지수로 보면 매번 같은 간격이 더해지는 것이다.
지수를 한 분모로 통일하기
분모를 통일하면 지수를 비교할 수 있다.
통분하면 관계없어 보이던 세 분수가 3/6, 2/6, 1/6이라는 셀 수 있는 목록으로 바뀝니다.
7.NS.A.1Organize Information In More Ways공비를 구하고 확인하기
지수가 일정하게 내려간다.
연속한 두 비가 일치한다는 것이 곧 "등비"의 뜻이에요 — 그 확인이 네 번째 항을 추측이 아닌 결정된 값으로 만들어 줍니다.
11.N-RN.A.1Introduce A Variable한 걸음 더 나아가기
한 걸음 더 가면 지수가 0이 된다.
지수가 한 걸음마다 1/6씩 내려가서 네 번째 걸음에 정확히 0에 닿습니다 — 3이라는 인수가 하나도 남지 않았다는 뜻의 지수죠.
9.F-LE.A.2Look For A Pattern보기와 대조하기
따라서 다음 항은 1이다, 보기 (A).
보기에 있는 근호는 전부 지수가 양수인 3의 거듭제곱이라, 지수를 0까지 끌어내린 항이 될 수 없습니다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilities모든 근호를 같은 밑의 거듭제곱으로 바꿔 쓰면, "등비"는 그저 지수가 매번 같은 크기만큼 내려간다는 뜻이 됩니다 — 여기서는 네 번째 걸음이 3⁰ = 1에 정확히 내려앉습니다.
- 모든 항을 밑 3으로 바꾸기
- 지수를 한 분모로 통일하기
- 공비를 구하고 확인하기
- 한 걸음 더 나아가기
- 보기와 대조하기