AMC 10 · 2014 · #10

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
digit-decompositiondivisibility-rulesdigit-constraints convert-to-algebra ↑ 선수 지식: digit-decomposition
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 수와 그것을 뒤집은 수의 차가 일정 속도로 정수 시간만큼이다. 자릿수 제곱의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
26
(B)
27
(C)
36
(D)
37
(E)
41
풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 여행에는 세 개의 숫자와 운전 시간이 숨어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것들을 a,b,c,h 라 이름 붙이고 두 거리계 값을 자릿값으로 다시 쓴다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 '시속 곱하기 정수 시간'을 깔끔한 거리 55h 로 바꾸면, 이것이 거리계 차와 같아야 한다. 그 차는 99(c-a)이고, 55h 와 맞추면 나눗셈 조건이 나오는데, 도구 #3(가능성 지우기)이 c-a=5만 남기고 나머지 자릿수 차를 모두 지운다. 마지막으로 빡빡한 제한 a+b+c ≤ 7은 경계 조건이므로, 도구 #14(극단의 원리)로 숫자를 하나로 좁힌다.

1STEP 1

숫자와 운전 시간에 이름 붙이기

자릿수와 시간에 이름을 붙인다.

abc=100a+10b+c, cba=100c+10b+a, h∈{1,2,3,…}
2STEP 2

거리를 두 가지 방법으로 쓰기

뒤집으면 바깥의 차만 남는다.

cba-abc=(100c+10b+a)-(100a+10b+c)=99(c-a)=55h
3STEP 3

정리하여 자릿수 차 확정하기

나누어떨어짐이 그 차를 5로 정한다.

9(c-a)=5h → 5 ∣ (c-a), 1 ≤ c-a ≤ 9 → c-a=5, h=9
4STEP 4

숫자 예산으로 숫자 확정하기

자릿수 예산이 셋을 모두 정한다.

c=a+5, 2a+b ≤ 2, a ≥ 1 → a=1, b=0, c=6
5STEP 5

요구된 제곱의 합 계산하기

제곱을 더하면 37, 보기 (D).

a²+b²+c²=1²+0²+6²=1+0+36=37 → (D)
정답
37
(a,b,c)=(1,0,6)으로 여행 전체를 확인하자: 거리계는 106 에서 시작해 601 에서 끝나므로 495 마일 늘었다. 나누면 495 ÷ 55=9로 정수 시간이라 시속 55 마일 조건이 정확히 성립한다. 숫자 예산도 a+b+c=1+0+6=7 ≤ 7, a=1 ≥ 1로 모두 만족한다. 모든 것이 일관되고 a²+b²+c²=37은 답 (D)와 일치한다.
💡핵심 정리

거리를 두 가지로 써라: 자릿수를 뒤집은 3 자리 수의 차는 언제나 99 곱하기 (끝 빼기 시작) 자릿수 차이고, 이를 55×시간과 맞추면 숫자가 정해진다.

  • 숫자와 운전 시간에 이름 붙이기
  • 거리를 두 가지 방법으로 쓰기
  • 정리하여 자릿수 차 확정하기
  • 숫자 예산으로 숫자 확정하기
  • 요구된 제곱의 합 계산하기

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