AMC 10 · 2014 · #12

학년 7 geometry-2dcounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

polygon-inequalitysimilar-trianglessystematic-enumerationgcd systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: polygon-inequality

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

모은 삼각형 중 어느 둘도 합동이거나 닮아서는 안 되고, 변은 작은 정수다. 가장 큰 모음의 크기를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"5보다 작은 정수 길이"라는 표현은 이 문제 전체를 조용히 유한하게 만든다. 그래서 첫 수는 탐색 범위를 묶는 것이다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기): 모든 변은 {1, 2, 3, 4}에 있고, 정렬된 삼조 a ≥ b ≥ c는 단 20가지뿐이다. 범위를 먼저 묶는 것이 중요하다 — 예가 "떨어질 때까지" 나열하는 것은 아무것도 증명하지 못하지만, 개수가 20으로 알려진 목록을 전부 확인하는 것은 모든 것을 증명한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 삼각부등식을 적용해 20개를 진짜 삼각형만 남도록 줄인다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 다시 본다: 합동인 삼각형은 닮음이기도 하므로 금지 조건은 사실 닮음 하나뿐이고, 따라서 S는 각 닮음류에서 많아야 하나를 가져가며 구하는 개수는 닮음류의 개수가 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 그 류를 식별할 지문을 제공한다 — 세 변을 최대공약수로 나누는 것 — 그러면 "이 둘은 닮음인가?"가 "이 두 이름표는 같은가?"로 바뀐다.

1STEP 1

나열하기 전에 범위부터 묶기

먼저 묶으면 후보가 20개뿐이다.

a, b, c ∈ {1,2,3,4}, a ≥ b ≥ c, C(6, 3) = 20 개의 후보

2STEP 2

진짜 삼각형만 남기기

삼각부등식이 그중 13개를 남긴다.

(1,1,1); (2,2,1), (2,2,2); (3,2,2), (3,3,1), (3,3,2), (3,3,3); (4,3,2), (4,3,3), (4,4,1), (4,4,2), (4,4,3), (4,4,4)

3STEP 3

금지 조건은 둘이 아니라 하나

금지 조건은 사실 하나뿐이다.

(a,b,c) ∼ (a',b',c') ⇔ (a,b,c) = k · (a',b',c'), k ＞ 0

4STEP 4

최대공약수로 모양에 지문 찍기

공약수가 각 모양에 지문을 찍는다.

(2,2,2), (3,3,3), (4,4,4) → (1,1,1); (4,4,2) → (2,2,1); 13 - 4 = 9 개의 기약 삼조

5STEP 5

아홉 모양이 정말 다름을 증명하기

남은 모양들은 정말로 서로 다르다.

(b/a, c/a): (1,1), (1,1/2), (1,1/3), (1,2/3), (1,1/4), (1,3/4), (2/3,2/3), (3/4,1/2), (3/4,3/4)

6STEP 6

상한과 실제 구성 맞추기

따라서 가장 큰 모음은 9다, 보기 (B).

|S|_max = #{닮음류} = 9 → (B)

정답

정답은 1과 13 사이여야 한다. 13은 변의 길이가 정수인 삼각형의 정확한 개수이기 때문이다. 또한 (1,1,1)과 (2,2,2)는 누가 봐도 같은 모양이므로 정답은 13보다 확실히 작아야 한다. 9는 이 구간에 들어맞는다. 그런데 8부터 12까지 모든 선택지가 이 구간 안에 있으므로 선택지는 아무 힌트도 주지 않고, 결국 나열이 모든 무게를 감당해야 한다. 경계에 있는 두 판단을 점검한다: (4,2,2)는 2 + 2 = 4가 4보다 크지 않아 탈락했는데, 이는 삼각형이 아니라 납작하게 퇴화한 도형이다. (4,4,2)는 (2,2,1)의 확대 복사본이라 제외했는데, 4 = 2 × 2, 4 = 2 × 2, 2 = 2 × 1이므로 옳다. 또한 제외된 네 삼각형이 가능한 확대 복사본의 전부라는 점도 확인된다: (1,1,1)과 (2,2,1)을 제외한 어떤 기약 삼조든 두 배만 해도 변이 이미 6 이상이 되어 한계 4를 넘기 때문이다.

💡핵심 정리

확인하기 전에 가능한 경우의 전체 목록을 먼저 세고, 각 삼각형의 세 변을 공통 인수로 나누어 보라 — 줄인 변이 같으면 같은 모양이고, 서로 다른 모양만 담을 수 있다.

나열하기 전에 범위부터 묶기
진짜 삼각형만 남기기
금지 조건은 둘이 아니라 하나
최대공약수로 모양에 지문 찍기
아홉 모양이 정말 다름을 증명하기
상한과 실제 구성 맞추기