AMC 10 · 2014 · #14

학년 9 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

surface-areaspace-diagonal-formulasymmetric-polynomialspythagorean-theorem convert-to-algebraspatial-visualization ↑ 선수 지식: surface-areapythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직육면체의 겉넓이와 모서리 길이의 합을 모두 안다. 내부 대각선 길이의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$8\sqrt{3}$

(B)

$10\sqrt{2}$

(C)

$16\sqrt{3}$

(D)

$20\sqrt{2}$

(E)

$40\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

모서리 길이를 x, y, z로 이름 붙이면(도구 #4) 두 조건이 두 개의 방정식이 된다. 그러나 이 방정식들은 x, y, z를 하나씩 결정해 주지 않는다 — 미지수는 셋인데 식은 둘이다. 그러니 "변의 길이를 구하자"로 시작하는 계획은 실패한다. 탈출구는 도구 #15(다르게 정리하기)이다: 구하려는 양도 두 조건과 마찬가지로 대칭인 조합 x+y+z와 xy+yz+zx에만 의존하며, 첫 번째 조건을 제곱하면 그 안에 두 번째 조건이 항으로 튀어나온다. 그 전에 도구 #17(공간 상상하기)이 필요하다. 내부 대각선이 정확히 무엇인지 — 몇 개이고 길이가 모두 같은지 — 를 확정해야 하는데, 참고 풀이는 이를 증명하지 않고 전제로 삼는다. 도구 #7은 겉면을 면 쌍으로 쪼개고, 도구 #6은 구체적인 직육면체 하나를 만들어 조건이 서로 모순되지 않음을 확인하며, 도구 #3은 선택지를 이용한 독립적인 검산을 제공한다.

1STEP 1

세 모서리 길이에 이름 붙이기

모서리 합이 셋의 합을 준다.

4(x+y+z) = 48 → x+y+z = 12

2STEP 2

겉면을 면 쌍으로 쪼개기

겉넓이가 셋의 두 개씩의 곱을 준다.

2(xy+yz+zx) = 94 → xy+yz+zx = 47

3STEP 3

내부 대각선 개수 세기

내부 대각선은 정확히 넷이다.

C(8, 2) = 28 = 12_모서리 + 12_면 대각선 + 4_내부, 합 = 4√(x²+y²+z²)

4STEP 4

모서리 합을 제곱하기

모서리 합을 제곱하면 주어진 두 값이 연결된다.

144 = (x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+yz+zx) = x²+y²+z² + 94 → x²+y²+z² = 50

5STEP 5

그런 직육면체가 존재하는지 확인

그런 직육면체가 실제로 존재한다.

3x²-24x+47=0 → x = 4 ± √(3)/3; (4+√(3)/3)² · 2 + (4-2√(3)/3)² = 50

6STEP 6

같은 길이의 대각선 네 개 더하기

더하면 20√2, 보기 (D).

4√(50) = 4 · 5√(2) = 20√(2) → (D)

정답

20√(2)

다섯 번째 단계에서 만든 구체적인 직육면체 x = y ≈ 4.577, z ≈ 2.845로 답을 검사해 보자. 모서리 합은 4(12) = 48 인치, 겉넓이는 2(20.95+13.02+13.02) = 94 제곱인치, 대각선은 √(4.577²+4.577²+2.845²) = √(50) ≈ 7.071 인치이므로 네 대각선의 합은 약 28.28 인치이고, 20√(2) ≈ 28.284이다. 두 번째 검사: 모서리 합이 같은 정육면체는 한 변이 4이고 대각선이 4√(3) ≈ 6.93이므로 합이 16√(3) ≈ 27.71이다. 우리 직육면체는 그 정육면체보다 약간 덜 고른 모양인데, x+y+z가 고정된 상태에서 변들이 서로 벌어지면 x²+y²+z²은 커지므로 답은 16√(3)보다 조금 커야 한다 — 실제로 20√(2)가 약 0.5인치 크다. 두 검사 모두 일치한다.

💡핵심 정리

세 변의 길이는 끝내 필요하지 않다. x+y+z를 제곱하면 그 안에 겉넓이가 나타나고, 남는 것이 바로 대각선의 제곱이다.

세 모서리 길이에 이름 붙이기
겉면을 면 쌍으로 쪼개기
내부 대각선 개수 세기
모서리 합을 제곱하기
그런 직육면체가 존재하는지 확인
같은 길이의 대각선 네 개 더하기