AMC 10 · 2014 · #15
학년 11 number-theory답을 골라 클릭하세요.
식은 로그와 상수 e가 있어 해석학처럼 보이지만, 실제로 묻는 것은 순수한 정수론이다. 그래서 관점을 두 번 바꾼다. 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)로 로그의 합을 하나의 로그, 즉 곱의 로그로 바꾸고, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 e를 씌워 ln을 되돌린다. 이 시점에서 로그는 모두 사라지고 e^p는 눈에 보이는 곱이 된다. 다음이 도구 #16(관점 바꾸기)이다: 그 곱을 절대 계산하지 않는다. 문제는 2가 몇 개 들어 있는지만 묻고 있으므로 2의 지수만 추적하고 나머지는 무시한다. 곱에 들어 있는 2의 지수는 각 인수의 지수를 더한 값이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 k^k를 하나씩 따로 처리하면 계산이 간단해진다. 마지막으로 "가장 큰"은 나누어떨어진다는 주장이 아니라 최대라는 주장이므로, 도구 #14(극단의 원리)로 2¹⁶을 빼내고 남은 수가 홀수임을 보여 마무리한다. 빠르게 세기만 하면 바로 이 부분을 건너뛰게 된다.
계수를 로그 안으로 올리기
각 계수가 지수로 올라간다.
로그에 k를 곱하는 것은 원래 수를 k번 곱하는 것과 같으므로, 계수는 지수 자리로 올라갈 수 있다.
로그에 정수를 곱하는 것은 원래 수를 그 횟수만큼 자기 자신과 곱하는 것이다.
▸ 왜?
로그는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 그 횟수를 곱하면 그 수 전체가 되풀이된다.
▸ 왜?
같은 인수를 정해진 횟수만큼 되풀이하는 것은 같은 묶음을 센 것이며, 곱셈이 그것을 기록한다.
합을 모으고 로그를 되돌리기
합이 하나의 곱으로 모인다.
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸므로, 그것을 거꾸로 읽으면 덧셈이 다시 하나의 큰 곱으로 돌아온다.
11.F-LE.A.4Work Backwards2만 세기
2의 개수는 곱에 대해 더해진다.
곱셈에서 인수 2는 새로 생기지도 사라지지도 않고 쌓이기만 하므로, 세는 일은 순전히 덧셈이다.
8.EE.A.1Change Focus Count The Complement밑마다 2의 개수 세기
2를 내놓는 밑은 셋뿐이다.
홀수 밑은 2를 절대 만들지 못하므로 모든 2는 2, 4, 6에서 나오고, 4는 한 번마다 두 배로 낸다.
4.OA.B.4Identify Subproblems열일곱 번째 2가 없음을 증명하기
남는 것이 홀수이므로 답은 2의 16제곱이다.
남은 수가 홀수가 되는 순간 2의 재고는 정말로 바닥난 것이다. 더 이상 반으로 나눌 것이 없다.
4.OA.B.4Extreme Principle로그의 합은 변장한 곱이다. 변장을 벗기고 각 인수가 내놓는 2의 개수를 더한 다음, 남은 수가 홀수인지 확인하면 마지막 하나까지 다 찾았다는 것을 알 수 있다.
- 계수를 로그 안으로 올리기
- 합을 모으고 로그를 되돌리기
- 2만 세기
- 밑마다 2의 개수 세기
- 열일곱 번째 2가 없음을 증명하기