AMC 10 · 2014 · #16

학년 9 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

systems-of-equationsfunction-evaluationsymmetry-argumentpolynomial-substitution symmetry-argumentconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equationsfunction-evaluation

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

삼차식에 대해 세 값이 주어져 확정에 하나 모자란다. 그럼에도 정해지는 조합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

14k

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

계수 네 개를 모두 쫓는 것은 가망이 없습니다. 식이 세 개뿐이라 미지수 네 개를 정할 수 없기 때문입니다. 빠져나갈 길은 자료가 어떻게 배열되어 있는지를 보는 것입니다. 모든 입력값이 0을 중심으로 부호가 반대인 쌍을 이루고, 구하려는 것도 그런 쌍입니다. 그러니 P(x)를 보는 대신 P(x) + P(-x)를 봅니다. 이 조합에서는 홀수 차수 항이 서로 지워지고 x² 항과 상수항만 남습니다. 자료가 끝내 닿을 수 없는 최고차항의 계수가 바로 지워지는 항 중 하나입니다. 남은 식에는 미지수가 둘뿐이고, 주어진 조건은 그 둘을 정하는 데 필요한 정보를 정확히 그만큼 제공합니다.

1STEP 1

네 계수에 이름 붙이기

네 계수가 삼차식을 설명한다.

P(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D, D = k ; A + B + C + D = 2k ; -A + B - C + D = 3k

2STEP 2

P(x)와 P(-x) 더하기

거울상을 더하면 홀수 항이 사라진다.

P(-x) = -Ax³ + Bx² - Cx + D ⟹ P(x) + P(-x) = 2Bx² + 2D

3STEP 3

주어진 값에서 2D와 2B 읽어내기

주어진 값이 살아남은 둘을 정확히 준다.

2D = 2P(0) = 2k, 2B + 2D = P(1) + P(-1) = 2k + 3k = 5k ⟹ 2B = 3k

4STEP 4

항등식을 x = 2에서 계산하기

항등식을 계산하면 14k다.

P(2) + P(-2) = 2B(2)² + 2D = 4(2B) + 2D = 4(3k) + 2k = 14k

5STEP 5

실제 삼차다항식을 만들어 확인하기

실제 삼차식이 그것을 확인한다, 보기 (D).

P(x) = x³ + 3k/2x² - (k/2 + 1)x + k: P(0) = k, P(1) = 2k, P(-1) = 3k, P(2) + P(-2) = (6k + 6) + (8k - 6) = 14k

정답

14k

서로 독립인 두 가지 확인이 일치합니다. 첫째, 구체적인 삼차다항식입니다. k = 1, A = 1이면 P(x) = x³ + 1.5x² - 1.5x + 1이고 P(0) = 1, P(1) = 2, P(-1) = 3으로 조건을 만족하며 P(2) + P(-2) = 12 + 2 = 14 = 14k입니다. 같은 k에 A = -2를 쓰면 P(2) + P(-2) = -6 + 20 = 14로 역시 같습니다. 둘째, 오답 선택지들이 정확히 예상 가능한 실수에 대응한다는 점입니다. 이는 풀이가 진짜 작동 원리를 짚었다는 좋은 신호입니다. 선택지 (D) 7k는 짝수 부분 자체의 값 4B + D로, 합 대신 평균을 구한 학생의 답입니다. 선택지 (C) 6k는 세 점을 지나는 다항식 중 x³ 항이 아예 없는 것에서의 P(2) 값입니다. 그 다항식은 이차식 3k/2x² - k/2x + k이고 삼차식이 아니므로, P(2) = 6k와 P(-2) = 8k를 확정된 값인 양 인용하는 것은 합이 우연히 맞더라도 실제로는 잘못된 논증입니다. 선택지 (A) 0은 세 주어진 값이 모두 0으로 무너지는 퇴화된 경우 k = 0에서만 14k와 일치합니다. 답은 k에 대한 식으로 물었으므로 일반적인 식 14k가 원하는 답입니다. 또 이 논증이 A ≠ 0을 한 번도 쓰지 않았다는 점도 확인해 둘 만합니다. 차수가 많아야 3이라는 것이 가정의 전부이므로, 삼차식이 진짜 x³ 항을 가져야 한다고 고집하든 아니든 답은 그대로입니다.

💡핵심 정리

입력값이 플러스와 마이너스 쌍으로 주어질 때는 다항식을 그 거울상과 더해 보세요. 홀수 차수 항이 지워지고, 끝내 구할 수 없던 계수들도 함께 지워집니다.

네 계수에 이름 붙이기
P(x)와 P(-x) 더하기
주어진 값에서 2D와 2B 읽어내기
항등식을 x = 2에서 계산하기
실제 삼차다항식을 만들어 확인하기

네 계수에 이름 붙이기

P(x)와 P(-x) 더하기

주어진 값에서 2D와 2B 읽어내기

항등식을 x = 2에서 계산하기

실제 삼차다항식을 만들어 확인하기

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