AMC 10 · 2014 · #17
학년 9 algebra답을 골라 클릭하세요.
"직선이 곡선에 닿지 않는다"는 기하적인 문장이라 계산할 거리가 없습니다. 직선의 식을 포물선에 대입하면 이것이 x에 대한 이차방정식 하나로 바뀌고, "닿지 않는다"는 "실근이 없다"가 되며, 이는 판별식의 부호 조건입니다. 그런데 그 판별식이 다시 m에 대한 이차식으로 나옵니다. 문제가 묻던 바로 그 m입니다. 그래서 문제 전체가 부등식 Δ(m) ＜ 0 하나로 접힙니다. 여기서 해야 할 일이 둘인데, 눈에 띄는 것은 하나뿐입니다. 눈에 띄는 쪽은 끝점을 찾는 일입니다. 덜 눈에 띄는 쪽은 해집합이 정말로 공집합이 아닌 하나의 열린구간임을 증명하는 일인데, 문제의 필요충분조건 표현이 이것을 조용히 가정하고 있기 때문입니다. m에 대해 완전제곱식으로 고치면 둘이 한꺼번에 해결됩니다. 마지막으로 필요한 것은 끝점의 합뿐이므로, 완전제곱식의 대칭성(또는 같은 말인 근과 계수의 관계)이 그 합을 바로 내주고 근호는 끝까지 계산할 필요가 없습니다.
직선을 방정식으로 바꾸기
직선과 곡선은 이차식이 0인 곳에서 만난다.
두 그래프는 y를 나타내는 두 식이 같아지는 곳에서 만나므로, 교점 문제는 x에 대한 방정식 하나가 됩니다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable만나지 않는다는 것은 실근이 없다는 것
비껴간다는 것은 판별식이 음수라는 뜻이다.
판별식이 음수인 이차방정식에는 실근이 없고, 실근이 없다는 것은 두 그래프가 닿을 자리가 없다는 뜻입니다.
실근이 없는 이차식은 두 그래프가 닿을 자리를 주지 않는다.
▸ 왜?
두 그래프는 그 이차식이 0이 되는 곳에서만 만나며, 곱은 인수가 0인 곳에서만 0이 된다.
▸ 왜?
이차식이 0에 결코 닿지 않으면 한쪽에만 머무르므로, 가로지름이 있을 수 없다.
m에 대해 완전제곱식 만들기
그 판별식 자체가 기울기에 대한 이차식이다.
제곱한 값이 어떤 양수보다 작아지는 곳은 그 중심에 대해 대칭인 구간뿐이므로, 만나지 않는 기울기는 하나의 구간이 될 수밖에 없고 그 구간은 비어 있을 수 없습니다.
9.A-SSE.B.3Extreme Principle중심에서 합을 읽어내기
그 근의 합은 계수에서 곧장 나온다.
문제가 묻는 것은 두 근의 합이고 이차식의 가운데 계수가 이미 그 합을 담고 있으므로, 근을 하나씩 구하는 것은 헛일입니다.
9.A-SSE.A.2Change Focus Count The Complement실제 기울기로 확인하기
그 합은 80, 보기 (B).
몇 개의 실제 기울기를 원래 그림에 다시 넣어 보면, 그 구간이 정말로 만나는 직선과 만나지 않는 직선을 갈라놓는다는 것이 보입니다.
9.F-IF.B.4Guess And Check"직선이 곡선을 비껴간다"는 말은 "이 이차방정식에 실근이 없다"와 같은 말이므로 판별식을 쫓아가면 되고, 그 판별식이 기울기에 대한 이차식이 되는 순간 그 대칭성이 양 끝 기울기를 구하지 않고도 그 합을 내줍니다.
- 직선을 방정식으로 바꾸기
- 만나지 않는다는 것은 실근이 없다는 것
- m에 대해 완전제곱식 만들기
- 중심에서 합을 읽어내기
- 실제 기울기로 확인하기