AMC 10 · 2014 · #18
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
유한한 경우에서 "몇 가지 배열인가"라는 물음은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 부른다. 그러나 120가지를 그대로 나열하는 것은 낭비다. 먼저 두 방향으로 일을 줄인다. 도구 #16(관점 바꾸기/여집합)은 총합이 15임에 주목한다. 합이 k인 호를 잡으면 나머지 호의 합은 15-k이므로, 1--5와 10--15는 저절로 만들어지고 의심스러운 목표는 6⇔ 9, 7⇔ 8로 짝지어져 결국 6과 7만 확인하면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 회전·반사 규칙과 함께 120가지를 서로 다른 원 12개로 줄인다. 그다음 도구 #2로 이 12개를 나열하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 6과 7을 모두 만드는 원을 지워 나쁜 배열만 남긴다.
항상 나오는 합 나열하기
대부분의 합은 저절로 나온다.
수 하나, 하나만 뺀 넷, 원 전체는 자동이라 대부분의 목표는 문제가 될 수 없다.
2.NBT.B.5Make A Systematic List6과 7만 어긋날 수 있다
어긋날 수 있는 목표는 둘뿐이다.
호와 나머지 전부는 항상 합이 15라서, 한 수를 만들면 그 짝도 저절로 만들어진다.
호와 그 나머지는 언제나 같은 합을 이루므로, 한 수에 닿으면 그 짝에도 닿는다.
▸ 왜?
원은 호와 나머지를 합친 것 그대로이므로, 두 합이 전체를 채운다.
▸ 왜?
모든 호에는 나머지가 있고 모든 나머지도 호이므로, 둘은 한 선택을 두 가지로 읽은 것이다.
서로 다른 원은 12개뿐
대칭 때문에 서로 다른 원은 12개뿐이다.
원을 돌리거나 뒤집어도 이웃 관계는 그대로라, 그런 복사본은 한 번만 센다.
4.G.A.3Draw A Diagram각 원에서 6과 7 시험하기
각 원을 그 두 목표로 시험한다.
6과 7은 각각 만드는 방법이 세 가지뿐이라, 그 조각이 붙어 있는지 확인하는 일은 원마다 금방 끝난다.
7.SP.C.8Eliminate Possibilities나쁜 원 세기
정확히 2개가 실패한다, 보기 (B).
6을 막으면 한 원이, 7을 막으면 다른 한 원이 강제되고, 세 번째 방법은 없다.
7.SP.C.8Eliminate Possibilities원 전체가 15이므로 어떤 호든 그 나머지와 합하면 15 — 그래서 6과 7만 빼고 모든 목표가 공짜이고, 서로 다른 원 열두 개 중 둘만 그중 하나를 못 만든다.
- 항상 나오는 합 나열하기
- 6과 7만 어긋날 수 있다
- 서로 다른 원은 12개뿐
- 각 원에서 6과 7 시험하기
- 나쁜 원 세기