AMC 10 · 2014 · #20
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
세어야 하는 집합은 서로 다른 두 조건의 교집합이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 둘로 나눈다. 먼저 "이 로그들이 애초에 존재하는 곳은 어디인가?", 그다음 "그 합이 2보다 작은 곳은 어디인가?"이다. 첫 번째 작은 문제를 건너뛰기 때문에 보기 (E)가 그럴듯해 보이는 것이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 두 번째 작은 문제를 맡아 두 로그를 하나로 합치고, log₁₀이 증가한다는 사실을 써서 로그 부등식을 곱에 대한 평범한 부등식으로 바꾼다. 이는 동치 변형이므로 ＜ 가 그대로 살아남는다. 도구 #4(변수 도입하기)는 y=x-50으로 곱의 중심을 옮겨 식을 100-y²로 만들고, 부등식이 왜 y² ＞ 0으로 무너지는지를 드러낸다. 이어서 도구 #14(극단의 원리)가 방정식처럼 푸는 사람이 놓치는 부분을 담당한다. 곱은 딱 한 점에서 최댓값 100에 정확히 도달하는데, 부등식이 엄격하므로 그 경계점 하나를 반드시 버려야 하며, 하필 그 점이 정수다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 두 조건을 모두 통과한 정수를 센다.
로그가 존재하는 곳부터 묻기
존재 조건만으로 범위가 정해진다.
로그가 작은지 묻는 것은 로그가 존재한 다음의 일이므로, 정의역은 나중에 확인할 사항이 아니라 처음부터 교집합으로 걸어야 할 조건이다.
9.F-IF.A.1Identify Subproblems두 로그를 하나로 합치기
두 로그가 하나로 합쳐진다.
로그의 합은 속을 곱한 것이고, 증가함수는 ＜ 를 그대로 건네준다.
로그를 더하면 안의 수가 곱해지며, 비교의 방향은 그대로 남는다.
▸ 왜?
로그는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 횟수를 더하는 것은 값을 곱하는 것이다.
▸ 왜?
로그는 오르기만 하므로, 로그의 비교가 수의 비교로 그대로 옮겨진다.
곱의 중심을 50으로 옮기기
중심을 옮기면 단순한 제곱이 된다.
곱을 100-y²로 쓰면 최댓값이 100임이 드러나므로, 부등식은 사실 '언제 100에 도달하지 못하는가'를 묻고 있다.
9.A-SSE.B.3Introduce A Variabley²=0이 아니라 y² ＞ 0을 풀기
그 조건이 정확히 하나의 값을 배제한다.
제곱으로 이루어진 엄격한 부등식은 제곱이 0이 되는 그 한 점만 배제하고 나머지는 모두 살린다.
6.EE.B.5Extreme Principle두 조건을 모두 통과한 것 세기
개수는 18, 보기 (B).
정수 구간 전체를 한 번 세고, 엄격한 부등식이 금지하는 값 하나만 지우면 된다.
6.EE.B.8Make A Systematic List로그는 속이 양수인 곳에만 존재하므로 먼저 41 ≤ x ≤ 59를 확정한다. 곱 (x-40)(60-x)은 100-(x-50)²이라서 x=50에서만 정확히 100이 되고, 엄격한 ＜ 가 그 값 하나를 버리므로 18개가 남는다.
- 로그가 존재하는 곳부터 묻기
- 두 로그를 하나로 합치기
- 곱의 중심을 50으로 옮기기
- y²=0이 아니라 y² ＞ 0을 풀기
- 두 조건을 모두 통과한 것 세기