AMC 10 · 2014 · #23
학년 11 number-theory답을 골라 클릭하세요.
C(2014, 62)는 자릿수가 백 자리를 넘으므로 정면으로 계산할 수 없다. 쓸 수 있는 사실은 단 하나, 2014≡ -3 (mod 2017)이라는 것이다. 이항계수의 위쪽이 아주 작은 음수인 셈이다. C(2014, k)를 내림차순 k개의 곱을 k!로 나눈 꼴로 쓰고(도구 #15) 각 인수를 나머지로 바꾸면, 거대한 항이 모두 작은 삼각수 C(k+2, 2)에 부호가 번갈아 붙은 형태로 줄어든다. 이것이 진짜로 더 쉬운 문제다(도구 #9). 남는 것은 항이 63개인 삼각수 교대합인데, 첫 항 하나와 이웃한 31쌍으로 나뉜다(도구 #7, 도구 #16). 각 쌍은 정확한 대수 항등식으로 홀수 하나가 되며, 몇 개 값을 보고 패턴을 읽어 내는 것이 아니다. 나온 홀수들을 더한 뒤(도구 #5), 그 값이 2017보다 작은지 확인해야 비로소 나머지라고 부를 수 있다(도구 #3).
위 첨자를 2017로 줄이기
위 첨자가 작은 값으로 줄어든다.
법이 소수이면 그보다 작은 인수는 무엇이든 약분할 수 있어서, 작은 계승은 보통 약수처럼 다뤄진다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem이항계수를 내림차순 곱으로 쓰기
계수는 내림차순 곱이다.
순서대로 k개를 고른 뒤 k!가지 순서를 나눠 주면 눈앞에 남는 인수는 k개뿐이다.
11.S-CP.B.9Organize Information In More Ways각 항을 삼각수로 줄이기
각 항이 삼각수로 줄어든다.
인수의 나머지만 살아남기 때문에, 백 자리 이항계수와 두 자리 삼각수가 mod 2017에서는 같은 수가 될 수 있다.
9.A-SSE.A.2Solve An Easier Related Problem합 전체를 다시 쓰기
합 전체가 부호가 번갈아 나오는 꼴로 다시 쓰인다.
모든 항을 바꿔 쓰고 나면 법은 잠시 접어 두고 보통 정수 합을 정확히 끝내면 된다.
7.EE.A.2Identify Subproblems정확한 항등식으로 이웃끼리 짝짓기
이웃끼리 짝지으면 홀수들이 남는다.
이웃한 삼각수의 차는 그 사이의 자연수와 정확히 같아서, 모든 쌍이 홀수 하나로 접힌다.
이웃한 삼각수는 그 사이의 세는 수만큼 정확히 차이 나므로, 모든 짝이 홀수 하나로 접힌다.
▸ 왜?
각 삼각수는 앞의 삼각수에 다음 세는 수를 더한 것이므로, 그 차가 바로 그 수다.
▸ 왜?
대신 이웃한 두 삼각수를 더하면 제곱수가 되므로, 짝의 합이 정해진 무늬를 이룬다.
홀수들을 더하기
그것을 더하면 완전제곱 1024다.
목록의 양 끝에서 하나씩 가져온 홀수는 언제나 같은 값이 되므로, 합은 그 값에 쌍의 개수를 곱한 것이다.
6.EE.A.3Look For A Pattern이 값이 나머지인지 확인하기
그것은 이미 범위 안이다, 보기 (C).
나머지는 합동류의 대표 중 0과 나누는 수 사이에 들어가는 단 하나의 값이다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities2014가 소수 2017보다 딱 3 작기 때문에 거대한 이항계수가 모두 부호가 번갈아 붙은 작은 삼각수로 줄고, 이웃끼리 짝지으면 합 전체가 1+3+5+…+63=32²이 된다.
- 위 첨자를 2017로 줄이기
- 이항계수를 내림차순 곱으로 쓰기
- 각 항을 삼각수로 줄이기
- 합 전체를 다시 쓰기
- 정확한 항등식으로 이웃끼리 짝짓기
- 홀수들을 더하기
- 이 값이 나머지인지 확인하기