AMC 10 · 2014 · #25

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

double-angle-formulatrigonometric-ratiosperiodic-functionprime-factorizationdivisor-count extreme-principlecasework ↑ 선수 지식: double-angle-formulaperiodic-function

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 삼각함수 방정식이 양수 입력에서 성립해야 한다. 모든 해를 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi$

(B)

$810\pi$

(C)

$1008\pi$

(D)

$1080 \pi$

(E)

$1800\pi$

풀이 과정

전략 극단의 원리

cos 2x와 cos(2014π²/x)가 섞인 초월방정식에는 풀이 공식이 없다. 적용할 공식도 없고, 그려서 쓸모 있는 그래프도 없다. 있는 것은 크기의 한계뿐이다. 첫 수는 도구 #15(다르게 정리하기)가 둔다: cos 4x-1을 2cos² 2x-2로 바꾸면 같은 제곱항이 양변에 놓이고, 그것이 지워지면서 cos 2x·cos(2014π²/x)=1이라는 벌거벗은 식만 남는다. 여기서부터는 도구 #14(극단의 원리)가 사실상 풀이 전부다: 두 코사인은 각각 크기가 최대 1이므로 곱의 크기도 최대 1인데, 방정식은 그 천장을 정확히 찍으라고 요구한다. 천장에 닿으려면 두 인수 중 어느 쪽도 조금도 양보하지 않아야 하므로 두 코사인이 모두 ± 1로 못박힌다 — 경계 상황이고, 게다가 빠짐없는 경계 상황이다. 무한 탐색이 유한한 목록으로 바뀌는 지점이 바로 여기다. 이어서 도구 #4(변수 도입하기)가 x=cπ로 눈금을 바꿔 두 경계 조건을 정수의 배수·약수 이야기로 번역하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 살아남은 약수를 나열하며, 도구 #3(가능성 지우기)이 두 번째 경계 상황을 통째로 없애고, 도구 #5(패턴 찾기)가 1007의 소인수분해에서 마지막 합을 읽어낸다.

1STEP 1

제곱항을 지워 버리기

제곱항이 즉시 상쇄된다.

2cos² 2x-2cos 2xcos(2014π²/x)=2cos² 2x-2 ⟺ cos 2x·cos(2014π²/x)=1

2STEP 2

곱을 천장까지 밀어붙이기

곱이 천장에 닿아 경우가 둘이 된다.

|a| ≤ 1, |b| ≤ 1, ab=1 ⟹ |a|=|b|=1 ⟹ (a,b)=(1,1) 또는 (a,b)=(-1,-1)

3STEP 3

모든 각을 π 단위로 재기

각을 한 단위로 재면 산술 문제가 된다.

x=cπ (c ＞ 0): cos 2x=cos(2cπ), cos(2014π²/x)=cos(2014/cπ)

4STEP 4

첫 번째 경우: 2014의 홀수 약수

첫 경우가 짧은 약수 목록을 준다.

2014=2 · 19 · 53; 2014/c 가 짝수 정수⇔ c ∣ 1007⇔ c∈{1, 19, 53, 1007}

5STEP 5

두 번째 경우: 아예 하나도 없음

둘째 경우는 아무것도 주지 않는다.

c=m/2, m 은 홀수 ⟹ 2014/c=4028/m=4·1007/m, 항상 짝수

6STEP 6

네 개의 해를 더하기

넷을 더하면 1080π, 보기 (D).

π+19π+53π+1007π=(1+19)(1+53)π=20 · 54 π=1080π → (D)

정답

1080 π

네 값 모두 원래 방정식에 직접 대입해도 맞는다. x=π면 cos 2π=1이고 2014π²/π=2014π인데 2014가 짝수이므로 cos(2014π)=1이어서, 좌변은 2 · 1·(1-1)=0이고 우변은 cos 4π-1=0이다. x=1007π면 cos(2014π)=1이고 2014π²/1007π=2π이므로 cos 2π=1이어서 양변이 다시 0이다. x=19π와 x=53π도 같은 방식으로 성립하며, 그 뒤에는 보기 좋은 대칭이 있다: 대응 c↦1007/c는 1⇔ 1007과 19⇔ 53을 맞바꾸는데, 이는 두 코사인이 서로 역할을 교환하기 때문이다. 도중에 잃어버린 해도 없다 — 1단계는 동치 변형의 연쇄였고, 2단계는 예시가 아니라 완전한 경우 목록을 만들었으므로 네 값이 해집합 전부다. 오답 보기들은 이 규정 작업을 어중간하게 멈춘 두 가지 방식과 정확히 대응한다. (A) π는 눈에 잘 띄는 해 x=π를 찾고서 그것이 유일하다고 넘겨짚었을 때 나오고, (C) 1008π=π+1007π는 1007을 소수로 착각해 중간 약수 19와 53을 놓쳤을 때 나온다. 한편 810과 1800은 2014의 약수들로 만들 수 있는 어떤 부분합도 아니다. 즉 (B)와 (E)는 약수를 잘못 세어서 나올 수 있는 값이 아예 아니고, 2014의 소인수분해 자체를 틀렸을 때를 겨냥한 함정이다.

💡핵심 정리

두 코사인의 곱이 1이라면 — 코사인 곱이 가질 수 있는 최댓값이다 — 어느 쪽도 조금의 여유도 없었다는 뜻이니 둘 다 정확히 ± 1에 앉아야 하고, 남은 일은 2014를 나누는 정수가 무엇인지 가려내는 것뿐이다.

제곱항을 지워 버리기
곱을 천장까지 밀어붙이기
모든 각을 π 단위로 재기
첫 번째 경우: 2014의 홀수 약수
두 번째 경우: 아예 하나도 없음
네 개의 해를 더하기