AMC 10 · 2014 · #7
학년 7 number-theory답을 골라 클릭하세요.
n 에 값을 하나씩 대입하면 예는 찾을 수 있지만 "이제 다 찾았다"는 것은 증명되지 않습니다. 그래서 계획은 두 가지 일을 합니다: 먼저 탐색 범위를 가두고, 그다음 판정 조건을 정확한 동치로 바꿉니다. 도구 #14(극단의 원리)가 범위를 줍니다 — 분모가 양수여야 하므로 n 은 1과 29 사이에 갇힙니다. 진짜 핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)입니다: n 을 보지 말고 여집합에 해당하는 d=30-n 을 보면 n/(30-n)=30/d-1이 되어, 문제 전체가 d 에 대한 하나의 나눗셈 조건으로 바뀝니다. 도구 #4로 그 여분에 이름을 붙이고, 도구 #2로 30의 소인수분해에서 약수를 나열하면 목록이 길기만 한 것이 아니라 빠짐없다는 것까지 보장됩니다.
탐색 범위 가두기
양수 조건이 탐색을 가둔다.
양수를 음수로 나누면 음수가 되므로, 분모는 양수 쪽에 남아 있어야 합니다.
7.NS.A.2Extreme Principle여분 d 에 이름 붙이기
여분에 이름을 붙이면 분수가 단순해진다.
일을 다 하는 쪽은 분모이니, 분모에 이름을 붙이고 n 은 뒤따라오게 둡니다.
6.EE.B.6Introduce A Variabled 로 분수 다시 쓰기
그것이 상수 나누기 여분이 된다.
분수를 쪼개면 상수 한 조각이 떨어져 나가고 신경 쓸 나눗셈이 딱 하나만 남습니다.
6.EE.A.3Change Focus Count The Complement나누어떨어짐 조건으로 바꾸기
따라서 조건은 약수 판정이다.
"나누었을 때 딱 떨어진다"는 말이 곧 약수라는 뜻이므로, 조건이 약수 목록으로 바뀝니다.
나눈 뒤 정수가 된다는 것이 바로 약수라는 말의 뜻이므로, 그 조건은 인수 목록이 된다.
▸ 왜?
몫이 정수가 되는 것은 나눗셈에 나머지가 없을 때뿐이다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 그 약수를 빠짐없이 늘어놓을 수 있다.
약수를 나열하고 세기
약수를 세면 7, 보기 (D).
소인수분해가 약수 목록이 빠짐없음을 보증하므로, 그 목록을 세는 것이 곧 답을 세는 것입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List분수가 딱 떨어져야 한다면, 분모가 어떤 고정된 수를 나누어야 하는 꼴로 고쳐 쓰세요 — 그러면 답은 그 수의 약수 개수입니다.
- 탐색 범위 가두기
- 여분 d 에 이름 붙이기
- d 로 분수 다시 쓰기
- 나누어떨어짐 조건으로 바꾸기
- 약수를 나열하고 세기