AMC 10 · 2015 · #10

학년 7 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorsprime-factorizationpolynomial-factoring simons-favorite-factoring-tricksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factorspolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 양의 정수가 합과 곱이 섞인 한 방정식을 만족한다. 큰 쪽을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

지금 형태의 x+y+xy=80은 덧셈이고, 80을 만드는 분할은 엄청나게 많아서 붙잡을 곳이 없습니다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 같은 식을 하나의 곱으로 바꿉니다. 정수의 곱은 훨씬 빡빡해서, 곱이 정해지면 그 수의 약수만으로 만들어야 하기 때문입니다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 약수 짝을 모두 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 x ＞ y ＞ 0을 써서 하나만 남깁니다. 이 풀이 전체가 걸려 있는 지점은 하나입니다: 약수 논증은 두 인수가 양의 정수임을 증명했을 때에만 성립합니다.

1STEP 1

1을 더해 곱으로 만들기

1을 더하면 왼쪽이 곱이 된다.

x+y+xy=80 ⇔ x+y+xy+1=81 ⇔ (x+1)(y+1)=81

2STEP 2

두 인수가 양의 정수임을 확인하기

두 인수 모두 정수이고 2 이상이다.

y ≥ 1 → y+1 ≥ 2; x ≥ 2 → x+1 ≥ 3

3STEP 3

81의 약수 짝 모두 적기

약수 짝은 세 개뿐이다.

81=3⁴; 약수 {1,3,9,27,81}; 81=1 × 81=3 × 27=9 × 9

4STEP 4

x ＞ y ＞ 0으로 짝 지우기

순서 조건이 정확히 하나를 남긴다.

(x+1)(y+1)=81, x+1 ＞ y+1 ≥ 2 → x+1=27, y+1=3

5STEP 5

x 읽어 내고 검산하기

읽어 내면 26, 보기 (E).

x=26, y=2: 26+2+26 · 2=80 → (E)

정답

되넣기가 결정적입니다: 26+2+26 · 2=80이고 26 ＞ 2 ＞ 0 이므로 (E)는 모든 조건을 실제로 만족합니다. 나머지 선택지는 빠르게 죽습니다. x+1은 81의 약수여야 하는데, 선택지들은 x+1=9,11,16,19,27을 주고 이 중 81을 나누는 것은 9와 27 뿐입니다. x+1=9이면 y+1=9, 즉 x=y=8이 되는데 이것이 바로 8이 선택지 (A)로 놓인 이유입니다 — 식은 만족하지만 등호 없는 x ＞ y 는 만족하지 못합니다. 크기 감각으로도 맞습니다. 곱이 81 인 두 인수 중 큰 쪽은 √(81)=9 보다 커야 하므로 x ＞ 8이고, 계산 없이도 (A)가 지워집니다.

💡핵심 정리

두 미지수의 합과 곱이 섞인 식을 만나면 양변에 1을 더해 하나의 곱으로 뭉쳐지는지 보세요 — 양의 정수의 곱은 만들 수 있는 방법이 몇 가지뿐입니다.

1을 더해 곱으로 만들기
두 인수가 양의 정수임을 확인하기
81의 약수 짝 모두 적기
x ＞ y ＞ 0으로 짝 지우기
x 읽어 내고 검산하기

1을 더해 곱으로 만들기

두 인수가 양의 정수임을 확인하기

81의 약수 짝 모두 적기

x ＞ y ＞ 0으로 짝 지우기

x 읽어 내고 검산하기

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