AMC 10 · 2015 · #13
학년 6 logiccounting답을 골라 클릭하세요.
다섯 진술 중 넷은 정리이고 하나는 아니므로, 정직한 방법은 넷을 증명하고 나머지 하나를 실제 대회 결과로 깨뜨리는 것이다. 거의 모든 것이 하나의 사실에 달려 있는데, 그 사실은 팀이 아니라 경기 쪽에서 보면 드러난다. 승리는 2 + 0, 무승부는 1 + 1을 나눠 주므로, 모든 경기는 결과가 어떻든 정확히 2점을 리그에 넣는다. 이것이 총합을 고정시키고, 합에 관한 진술을 곧바로 해결하며, 점수 목록 전체의 홀짝을 결정한다. 마지막 진술에 대해서는 극단으로 밀어붙인다. 최고 점수가 커야 한다는 주장은 점수들이 규칙이 허용하는 한 가장 고르게 퍼졌을 때 가장 약해지므로, 완전히 평평한 점수 목록이 가능한지를 확인한다.
모든 경기는 2점을 내놓는다
모든 경기가 같은 점수를 내놓는다.
점수 규칙 자체가 한 경기의 값어치를 결과와 무관하게 2점으로 맞춰 놓았으므로, 결과는 점수를 옮길 뿐이다.
3.OA.D.9Change Focus Count The Complement경기 수를 세어 총합을 고정하기
그것이 총합을 132로 고정한다.
총점은 경기 수 곱하기 2일 뿐이고, 각 경기를 양쪽에서 한 번씩 세면 두 번 센 것이 된다.
각 경기를 양쪽에서 한 번씩 세면 두 번 세게 되므로, 총 점수는 경기를 치르기 전에 이미 정해져 있다.
▸ 왜?
각 경기는 정확히 두 팀에 속하므로, 팀을 따라 더하면 두 번 지나게 된다.
▸ 왜?
모든 경기는 어떻게 끝나든 같은 2점을 내주므로, 결과는 점수를 옮길 뿐이다.
진술 D: 합은 정확히 132
한 주장은 바로 그 총합이다.
항상 정확히 132인 값은 당연히 항상 100 이상이다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities진술 A와 B: 목록의 홀짝
둘은 그 홀짝에서 따라 나온다.
홀수들은 짝수 개일 때만 합이 짝수가 되는데, 고정된 총합 132가 짝수다.
2.OA.C.3Eliminate Possibilities진술 C: 0점 두 팀은 부딪힌다
또 하나는 맞대결 한 경기에서 따라 나온다.
서로 맞붙은 그 한 경기에서 두 팀이 모두 빈손으로 나올 수는 없다.
6.EE.B.6Introduce A Variable진술 E는 평균에 달려 있다
마지막 하나는 평균 점수에 달려 있다.
총합이 고정된 상태에서 모든 점수를 낮게 누르는 유일한 방법은 전부 평균과 똑같이 만드는 것이다.
6.SP.A.3Extreme Principle전 경기 무승부 대회 만들기
전 경기 무승부 대회가 그것을 깨뜨린다, 보기 (E).
모든 경기를 비기면 고정된 132점이 가장 고르게 퍼져서 최고 점수가 도달할 수 있는 가장 낮은 값까지 내려간다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities총합이 고정되어 있으면 목록에서 가장 큰 수는 결코 평균 아래로 내려갈 수 없다. 그러니 '최고값이 반드시 크다'는 주장을 깨뜨리려면 규칙이 허락하는 한 모든 값을 가장 고르게 퍼뜨려 보면 된다.
- 모든 경기는 2점을 내놓는다
- 경기 수를 세어 총합을 고정하기
- 진술 D: 합은 정확히 132
- 진술 A와 B: 목록의 홀짝
- 진술 C: 0점 두 팀은 부딪힌다
- 진술 E는 평균에 달려 있다
- 전 경기 무승부 대회 만들기