AMC 10 · 2015 · #14
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
미지수가 밑이 서로 다른 세 로그의 진수 자리에 갇혀 있어서 합칠 방법이 없습니다. log₂ a, log₃ a, log₄ a 는 밑이 다른 로그끼리 섞는 규칙을 따르지 않습니다. 탈출구는 a 를 밑 자리로 옮기는 것이고, 그 표준 수단이 뒤집기 규칙 1/(log_b a) = log_a b 입니다. 바로 이 규칙이 이 문제 전체를 떠받치는 단계이며, 대부분의 풀이가 증명 없이 단정하고 넘어가는 단계이기도 합니다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 u = log₂ a 라 이름 붙입니다. 그러면 규칙이 2^u = a 라는 한 줄짜리 지수 등식으로 바뀌고, 그 과정에서 규칙이 몰래 요구하는 조건 u ≠ 0이 드러납니다. 세 항이 log_a 2, log_a 3, log_a 4가 되고 나면 도구 #15(다르게 정리하기)로 방정식을 다시 읽습니다. 이 세 수는 a 위에 올라가는 지수이고, 지수 세 개의 합이 1 이라는 말은 로그의 합이 아니라 거듭제곱의 곱에 관한 진술입니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보를 원래 방정식에 도로 넣습니다. 유도는 a 가 그 값'이어야 한다'는 것만 보였을 뿐, 실제로 성립한다는 것까지 보인 것은 아니기 때문입니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 함정을 닫습니다. 밑 2, 3, 4는 곱해져서 결합하는데, 선택지에는 그 곱뿐 아니라 합도 들어 있습니다.
어떤 a 가 적법한지 못박기
로그가 어떤 값이 적법한지 정한다.
로그는 양수만 받아들이고, 절대로 나눌 수 없는 단 하나의 값은 0입니다.
9.F-IF.A.1Introduce A Variable뒤집기 규칙은 인용하지 말고 증명하기
각 역수는 맞바꾼 로그다.
로그의 밑과 진수를 맞바꾸는 것은 같은 지수 등식을 반대쪽에서 읽는 일일 뿐입니다.
로그의 밑과 진수를 맞바꾸는 것은 같은 지수 방정식을 반대 끝에서 읽는 것이다.
▸ 왜?
로그는 밑을 몇 번 쓰는지를 알려 주므로, 밑과 결과의 역할은 한 사실의 두 면이다.
▸ 왜?
그 사실을 거꾸로 읽으면 횟수가 뒤집히며, 그래서 맞바꾼 로그가 역수가 된다.
지수의 덧셈은 거듭제곱의 곱셈
지수를 더하는 것은 진수를 곱하는 것이다.
지수에서의 덧셈은 값에서의 곱셈이므로, 저 세 로그를 더하는 것은 사실 2, 3, 4를 곱하는 것입니다.
11.N-RN.A.1Organize Information In More Ways구한 값을 도로 넣어 보기
다시 넣으면 값이 확인된다.
지수함수는 같은 값을 두 번 내놓지 않으므로, 양변이 같으면 지수도 같아야 합니다.
11.F-BF.B.4Guess And Check덧셈 함정 지우기
답은 24, 보기 (A).
밑들은 더해지지 않고 곱해지며, 합이 a 가 커질수록 줄어들기만 하므로 1에 닿는 값은 하나뿐입니다.
9.A-SSE.A.2Eliminate Possibilities미지수가 로그 안쪽에 갇혀 있으면 각 분수를 미지수가 밑인 로그로 뒤집으세요 — 그러면 세 로그의 합이 1 이라는 말은 결국 밑 2, 3, 4를 곱하라는 뜻입니다.
- 어떤 a 가 적법한지 못박기
- 뒤집기 규칙은 인용하지 말고 증명하기
- 지수의 덧셈은 거듭제곱의 곱셈
- 구한 값을 도로 넣어 보기
- 덧셈 함정 지우기