AMC 10 · 2015 · #16
학년 8 geometry-3d pythagorean-theoremspatial-visualizationinteger-pythagorean-triples physical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
입체의 여섯 모서리가 모두 주어지고 두 면이 익숙한 직각삼각형으로 드러난다. 부피를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$3\sqrt2$
(B)
$2\sqrt5$
(C)
$\dfrac{24}5$
(D)
$3\sqrt3$
(E)
$\dfrac{24}5\sqrt2$
풀이 과정
전략 공간 상상하기
여섯 모서리 안에는 모서리 AB를 따라 붙어 있는 똑같은 3-4-5 직각삼각형 두 개가 숨어 있다. 문제 전체는 두 삼각형이 AB를 축으로 어떻게 접혀 있는지 머릿속에 그리는 일로 바뀐다. 삼각형 ABC가 놓인 평면 위로 점 D가 얼마나 높이 떠 있는지를 알면, 부피는 곧 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1이므로, 친숙한 직각삼각형으로 쪼개어 받쳐 주는 공간 상상이 열쇠다.
1STEP 1
두 개의 3-4-5 삼각형 찾기
두 면이 익숙한 직각삼각형이다.
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
세 변이 3, 4, 5인 삼각형은 저절로 직각삼각형이다.
변이 3, 4, 5인 삼각형은 저절로 직각삼각형이 된다.
▸ 왜?
제곱들 사이의 관계는 각이 직각일 때만 성립하므로, 거꾸로도 읽힌다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
▸ 왜?
그 변의 비를 지닌 삼각형은 모두 같은 모양이므로, 크기가 어떻든 직각이 따라온다.
닮은 삼각형은 변이 비례각이 같은 삼각형은 닮음: 대응변은 일정한 비 k, 넓이는 k² 비다.
2STEP 2
AB로 두 수선 내리기
각각이 같은 수선 길이를 내린다.
CH = DH = (AC · BC)/AB = (3 · 4)/5 = 12/5
직각에서 빗변까지의 가장 짧은 거리는 두 변의 곱을 빗변으로 나눈 값이다.
8.G.B.7Draw A Diagram3STEP 3
CH와 DH가 수직임을 보이기
마지막 모서리가 그 수선들을 수직으로 만든다.
(12/5)² + (12/5)² = 2(12/5)² = (12/5√2)² = CD²
두 선분이 a² + b² = c²를 만족하면 그 사이 각은 완벽한 직각이다.
8.G.B.6Visualize Spatial Relationships4STEP 4
입체의 높이 읽어내기
따라서 한 수선이 입체의 높이다.
[△ ABC] = 1/2 · 3 · 4 = 6, h = DH = 12/5
한 평면에서 만나는 두 직선에 수직인 선분은 그 평면에서 곧게 솟아오른다.
6.G.A.1Visualize Spatial Relationships5STEP 5
부피 계산하기
부피는 24/5, 보기 (C).
V = 1/3 · [△ ABC] · DH = 1/3 · 6 · 12/5 = 72/15 = 24/5
각뿔은 같은 밑면과 높이를 가진 상자의 정확히 3분의 1만 담는다.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships정답
24/5
높이 DH = 12/5 = 2.4는 빗변 모서리(3과 4)보다 충분히 짧아야 하는데 실제로 그렇고, 밑넓이가 6이므로 부피는 6×2.4 = 14.4의 3분의 1, 즉 약 4.8 근처여야 한다. 정확한 값 24/5 = 4.8이 이에 맞으며, 깔끔한 유리수로 떨어지는 유일한 보기로 3-4-5 구조의 정갈함과도 어울린다.
💡핵심 정리
모서리 속에 3-4-5 직각삼각형이 숨어 있으면 머릿속에서 평평하게 접어 높이들이 만나는 곳을 찾고, 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1로 부피를 얻어라.
- 두 개의 3-4-5 삼각형 찾기
- AB로 두 수선 내리기
- CH와 DH가 수직임을 보이기
- 입체의 높이 읽어내기
- 부피 계산하기
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