AMC 10 · 2015 · #17

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basiccomplementary-countinglucas-numbersrecursive-sequence casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

원 둘레의 각자가 동전을 던지고 이웃이 함께 서면 안 된다. 그 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{47}{256}$

(B)

$\dfrac{3}{16}$

(C)

$\dfrac{49}{256}$

(D)

$\dfrac{25}{128}$

(E)

$\dfrac{51}{256}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

모든 동전이 공정하고 독립이므로 서기/앉기 배열 2⁸ = 256가지가 모두 같은 확률을 가져, 확률은 (안전한 배열의 수)/256일 뿐이다. "이웃한 둘이 서 있지 않음"을 한꺼번에 세기는 어려우니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일어선 사람 수에 따라 0, 1, 2, 3, 4명으로 나눈다(5명 이상은 닿지 않게 앉힐 수 없다). 쉬운 경우는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 세고, 까다로운 한 경우 — 정확히 3명이 서는 경우 — 는 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 푼다: 세 명 조합을 모두 센 뒤 두 명이 나란히 서는 것을 빼면 된다.

1STEP 1

확률을 분수로 세우기

256가지 결과가 똑같이 나온다.

P(안전) = (# 안전한 배열)/2⁸ = (# 안전한 배열)/256

2STEP 2

선 사람 수로 나누기

선 사람 수로 나누면 경우가 다섯이다.

# 안전 = N₀ + N₁ + N₂ + N₃ + N₄

3STEP 3

0, 1, 2명 서는 경우 세기

작은 경우는 바로 세어진다.

N₀ = 1, N₁ = 8, N₂ = C(8, 2) - 8 = 28 - 8 = 20

4STEP 4

3명 서는 경우를 여집합으로 세기

다음은 여집합을 쓴다.

N₃ = C(8, 3) - 8 - (8 × 4) = 56 - 8 - 32 = 16

5STEP 5

4명 서는 경우 세기

가장 큰 경우는 두 가지 모양뿐이다.

N₄ = 2 (번갈아 서는 두 배열)

6STEP 6

모두 더하고 나누기

더하고 나누면 47/256, 보기 (A).

P = (1+8+20+16+2)/256 = 47/256 → (A)

정답

47/256

확률 47/256≈ 0.18은 타당하다: 서는 것은 동전 던지기이지만 닿지 않기 규칙이 대부분의 배열을 걸러내므로 절반보다 한참 작은 값이 예상된다. 세기도 점검을 통과한다 — 안전한 배열의 합 1,8,20,16,2는 루카스 수 L₈ = 47로, 원형 8자리에서 서로 이웃하지 않는 부분집합을 고르는 방법의 알려진 수다. 분자 47이 홀수이므로 분수는 16이나 128 같은 분모로 약분될 수 없어 (B) 3/16과 (D) 25/128이 조용히 배제된다. 가까운 (C) 49/256과 (E) 51/256은 3명 또는 4명 경우를 잘못 세야 나온다.

💡핵심 정리

동전 던지기가 모두 같은 확률이므로, 안전한 자리 배열을 선 사람 수(0, 1, 2, 3, 4)로 세어 47을 만든 뒤 256으로 나눈다.

확률을 분수로 세우기
선 사람 수로 나누기
0, 1, 2명 서는 경우 세기
3명 서는 경우를 여집합으로 세기
4명 서는 경우 세기
모두 더하고 나누기