AMC 10 · 2015 · #18

학년 8 algebranumber-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
vieta-formulasquadratic-equationspolynomial-roots simons-favorite-factoring-trick ↑ 선수 지식: quadratic-equationsvieta-formulas
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
계수를 공유하는 이차식이 두 정수 근을 갖는다. 그것이 가능한 계수를 모두 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
16
(D)
17
(E)
18
풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)로 두 정수 근을 p, q 라 부릅니다. f(x)=(x-p)(x-q)를 x²-ax+2a 에 맞추면 '영점이 정수'라는 말이 깔끔한 두 식 p+q=a 와 pq=2a 로 바뀝니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 남은 관계 pq=2(p+q)를 인수분해 형태 (p-2)(q-2)=4로 바꿔, 흩어진 식보다 훨씬 찾기 쉽게 만듭니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 4의 모든 정수 인수 쌍을 — 잊기 쉬운 음수 쌍까지 — 쓸어, 어떤 a 값도 놓치지 않습니다.

1STEP 1

정수 근에 이름 붙이기

두 근이 합과 곱을 준다.

f(x)=(x-p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq → p+q=a, pq=2a
2STEP 2

a 소거하기

계수를 없애면 방정식 하나가 남는다.

pq=2a=2(p+q)
3STEP 3

곱이 4인 형태로 인수분해하기

상수를 더하면 단순한 곱이 된다.

pq-2p-2q=0 → pq-2p-2q+4=4 → (p-2)(q-2)=4
4STEP 4

4의 인수 쌍 나열하기

인수 쌍은 넷뿐이다.

(1,4) :a=9; (2,2) :a=8; (-1,-4) :a=-1; (-2,-2) :a=0
5STEP 5

서로 다른 a 값 더하기

값을 더하면 16, 보기 (C).

9+8+(-1)+0=16 → (C)
정답
16
한 값을 점검해 봅시다: a=-1이면 f(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1)로 근이 -2와 1 — 둘 다 정수, 좋습니다. a=0이면 f(x)=x²으로 정수 중근 0을 가집니다. 네 값 9,8,-1,0은 정확히 4의 네 인수 쌍이므로 목록이 완전합니다. 그 합 16은 선택지 (C)이며, 많이 나오는 오답 17 (D)은 바로 두 음의 인수 쌍을 빼고 9+8만 남길 때 나옵니다.
💡핵심 정리

근에 이름을 붙이고, 조건을 (p-2)(q-2)=4로 바꾼 뒤, 4의 인수 쌍을 음수까지 빠짐없이 나열하면 어떤 a 값도 놓치지 않습니다.

  • 정수 근에 이름 붙이기
  • a 소거하기
  • 곱이 4인 형태로 인수분해하기
  • 4의 인수 쌍 나열하기
  • 서로 다른 a 값 더하기

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