AMC 10 · 2015 · #19
학년 8 geometry-2d pythagorean-theoremdifference-of-squaresperfect-squares bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
직각이 둘인 사각형의 변이 정수이고 그중 둘이 같다. 한계 아래의 둘레 개수를 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
30
(B)
31
(C)
61
(D)
62
(E)
63
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 직각 덕분에 도형을 모눈 위에 놓고 모르는 변에 문자를 붙일 수 있다. BC와 CD를 문자로 두면, 같은 변 CD = AD가 하나의 피타고라스 식으로 바뀐다. 그 식을 풀면 허용되는 변의 길이가 드러나고, 둘레 한계에 대한 경계 점검으로 몇 개가 들어맞는지 알 수 있다.
1STEP 1
도형을 모눈 위에 놓기
모눈이 두 직각을 분명히 한다.
B=(0,0), C=(y,0), A=(0,2), D=(y,x)
두 직각은 모눈종이의 모서리처럼 작용해서 꼭짓점들이 깔끔한 좌표를 얻는다.
6.G.A.3Draw A Diagram2STEP 2
모르는 변에 문자 붙이기
문자 둘이 모르는 변을 이름 짓는다.
BC=y, CD=AD=x, AB=2
모르는 길이에 문자를 주면 같은 두 변이 하나의 식에서 서로 연결된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable3STEP 3
피타고라스 정리 적용하기
직각삼각형 하나가 그것을 잇는다.
y²+(x-2)²=x²
같은 변 CD와 AD가 직각삼각형 구성을 묶어 주므로 피타고라스가 둘을 고정한다.
8.G.B.7Introduce A Variable4STEP 4
제곱수 조건으로 정리하기
정수 조건이 완전 제곱수를 강제한다.
y²=4(x-1) → x=k²+1, y=2k
제곱근은 안의 수가 완전제곱수일 때만 자연수에 떨어진다.
제곱근이 정수가 되는 것은 근호 안이 완전제곱일 때뿐이다.
▸ 왜?
완전제곱수는 조리법 속 모든 소수를 짝수 번 써야 하며, 그것은 확인할 수 있는 조건이다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
▸ 왜?
근호 안의 값은 직각삼각형의 두 변에서 나온 것이므로, 변의 길이로 정해진다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
5STEP 5
둘레를 식으로 쓰기
둘레가 깔끔한 식 하나가 된다.
p=2+2k+2(k²+1)=2k²+2k+4
허용되는 k 하나가 진짜 도형 하나를 만드니, k를 세면 둘레를 세는 것이다.
6.EE.B.6Introduce A Variable6STEP 6
2015 미만의 경계 찾기
한계를 넘는 것은 31에서다, 보기 (B).
k=31: p=1988 ＜ 2015; k=32: p=2116 ＞ 2015
둘레가 2015를 막 넘을 때까지 k를 올리면, 마지막으로 들어맞는 k가 개수를 정한다.
7.EE.B.4Extreme Principle정답
31
1부터 31까지의 각 k는 p = 2k² + 2k + 4를 엄밀히 증가시키므로(k=1에서 최소 p=8, k=31에서 최대 p=1988) 31개의 둘레가 모두 서로 다르고 모두 2015 미만이다. 개수 31은 선택지 (B)와 일치하고, k=32가 2116을 주는 아슬아슬한 차이가 31이 정확한 경계임을 확인해 준다.
💡핵심 정리
모르는 변에 문자를 붙이고, 직각이 주는 피타고라스 식을 세우면, 들어맞는 도형은 자연수 k마다 정확히 하나씩 줄지어 나타난다.
- 도형을 모눈 위에 놓기
- 모르는 변에 문자 붙이기
- 피타고라스 정리 적용하기
- 제곱수 조건으로 정리하기
- 둘레를 식으로 쓰기
- 2015 미만의 경계 찾기