AMC 10 · 2015 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityprobability-basicarea-circles casework ↑ 선수 지식: geometric-probability

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정사각형 테두리 위의 무작위 두 점이 충분히 떨어져야 한다. 기약 표현의 성분을 답하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 점은 같은 변에 놓이거나, 한 꼭짓점을 공유하는 두 변에 놓이거나, 마주 보는 두 변에 놓일 수 있고, 거리는 각 상황마다 완전히 다르게 움직인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 바로 그 세 경우로 문제를 나누고 대칭성으로 각 경우의 확률을 정한다. 한 경우 안에서 도구 #4(변수 도입하기)는 각 점의 위치를 꼭짓점에서 떨어진 거리로 이름 붙여 "거리 1/2 이상"을 두 좌표에 대한 부등식으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 두 좌표를 단위 정사각형 위에 그려 확률을 넓이로 만든다. 꼭짓점을 공유하는 경우에는 조건을 만족하는 영역이 까다로우므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 실패하는 작은 사분원을 대신 재서 빼낸다. 세 경우의 확률을 각 경우가 일어나는 빈도로 가중해 더하면 최종 답이 조립된다.

1STEP 1

점이 놓인 위치로 쪼개기

점이 놓인 위치가 경우를 셋으로 나눈다.

P(같은 변)=1/4, P(이웃 변)=1/2, P(마주 변)=1/4

2STEP 2

같은 변: 넓이 모형

같은 변은 단순한 넓이 모형이다.

P_같은=P (|x-y| ≥ 1/2)=2·1/2·1/2·1/2=1/4

3STEP 3

이웃 변: 거리 세우기

이웃 변에서는 거리가 원이 된다.

거리²=x²+y², 거리 ≥ 1/2 ⇔ x²+y² ≥ 1/4

4STEP 4

이웃 변: 실패하는 사분원 빼기

실패하는 영역은 사분 원이다.

P_이웃=1-(1/4·π(1/2)²)/1=1-π/16

5STEP 5

마주 변: 항상 충분히 멀다

마주 보는 변은 언제나 성공한다.

거리 ≥ 1 ≥ 1/2 → P_마주=1

6STEP 6

경우를 평균 내어 답 읽기

경우에 가중치를 주면 59, 보기 (A).

P=1/4·1/4+1/2 (1-π/16)+1/4·1=(26-π)/32 → a+b+c=59 (A)

정답

결과 (26-π)/32≈(26-3.14)/32≈22.86/32≈ 0.71은 0과 1 사이의 타당한 확률이다. 또한 평균 낸 세 경우의 값 사이에 올바르게 위치한다: 0.25(같은 변), 1-π/16≈0.80(이웃 변), 1(마주 변). 이웃·마주 경우가 함께 가중치 3/4을 지니므로 결과가 큰 값 쪽으로 기우는 것도 맞다. 끝으로 gcd(26,1,32)=1이라 (a-bπ)/c 꼴이 정말로 기약이고 a+b+c=59가 강제되어 (A)와 들어맞는다.

💡핵심 정리

두 점을 어느 변에 놓였는지로 분류하고, 각 경우의 거리 규칙을 단위 정사각형 위 넓이로 바꾼 뒤, 각 경우가 일어나는 빈도로 평균을 낸다.

점이 놓인 위치로 쪼개기
같은 변: 넓이 모형
이웃 변: 거리 세우기
이웃 변: 실패하는 사분원 빼기
마주 변: 항상 충분히 멀다
경우를 평균 내어 답 읽기