AMC 10 · 2015 · #5

학년 7 logicarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

estimationfraction-arithmeticinterval-arithmetic logical-deductionextreme-principle ↑ 선수 지식: estimationfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

식의 각 수를 더 크거나 더 작은 값으로 바꾼다. 값을 언제나 키우는 조합을 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

She rounds all three numbers up.

(B)

She rounds } a \text{ and } b \text{ up, and she rounds } c \text{ down.

(C)

She rounds } a \text{ and } c \text{ up, and she rounds } b \text{ down.

(D)

She rounds } a \text{ up, and she rounds } b \text{ and } c \text{ down.

(E)

She rounds } c \text{ up, and she rounds } a \text{ and } b \text{ down.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

'올림한다'는 말은 부등식으로 적기 전까지는 모호합니다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 반올림한 수를 a', b', c' 라 이름 붙이고 각 반올림을 a' ＞ a, b' ＜ b, c' ＜ c 로 기록합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 식을 두 개의 독립된 질문으로 나눕니다 — 몫 a/b는 어느 쪽으로 움직이는가, 그리고 -c 는 어느 쪽으로 움직이는가. 두 부분이 서로 다른 변수에 반응하기 때문입니다. 이 중 몫에 관한 질문이야말로 단정하지 말고 증명해야 할 부분입니다: 도구 #14(극단의 원리)로 각 재료를 값이 가장 커지는 극단으로 밀어 보는 문제로 바꾸고, 통분 비교로 방향을 확정합니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)은 여기서 장식이 아닙니다. 문제가 '보장'을 요구하므로 나머지 선택지마다 실제 반례가 필요하고, 그 반례들이 어긋난 방향은 상쇄되리라고 믿을 수 없는 이유를 보여 줍니다.

1STEP 1

반올림을 부등식으로 적기

각 변화가 하나의 단순한 부등식이다.

올림: x' ＞ x, 내림: x' ＜ x, 추정값 = a'/b' - c'

2STEP 2

-c 부분 먼저 떼어내기

빼는 항은 방향이 뒤집힌다.

c' ＜ c ⟹ -c' ＞ -c

3STEP 3

몫의 규칙은 가정하지 말고 증명하기

몫의 방향은 가정이 아니라 증명된다.

a'/b' - a/b = (a'b - ab')/bb', a'b ＞ ab ＞ ab' ⟹ a'/b' ＞ a/b

4STEP 4

어긋난 방향은 상쇄를 기대할 수 없다

어긋난 방향이 상쇄되리라 믿을 수 없다.

1100/900 - 300 ≈ -298.78 ＜ 1050/950 - 250 ≈ -248.89

5STEP 5

살아남은 조합 하나 조립하기

살아남는 조합은 하나뿐이다, 보기 (D).

a'/b' ＞ a/b 이고 -c' ＞ -c ⟹ a'/b' - c' ＞ a/b - c → (D)

정답

a는 올림하고 b와 c는 버림한다.

다른 선택지를 깨뜨릴 때 쓴 바로 그 수들로 (D)를 시험합니다. a=1050, b=950, c=250을 백의 자리로 반올림하면 (D)는 1100/900 - 200 ≈ 1.22 - 200 = -198.78로, 정확한 값 -248.89 보다 넉넉히 큽니다. a=60050, b=150, c=250 에서는 (D)가 60100/100 - 200 = 601 - 200 = 401로, 정확한 값 150.33 보다 큽니다. 둘 다 증명과 일치합니다. '크다'라는 말에 대해 정직하게 덧붙일 점이 하나 있습니다. 부등식이 엄밀한 것은 반올림이 실제로 각 수를 움직이기 때문입니다. 어떤 수가 이미 반올림 기준점에 놓여 그대로 남는다면 그 조각은 엄밀한 증가가 아니라 등호를 주고, 추정값은 정확한 값을 넘어서는 대신 같아집니다. 그래도 논증은 여전히 '적어도 같다'를 주므로, 어느 쪽으로 읽든 (D)만이 옹호 가능한 선택지입니다.

💡핵심 정리

a/b - c 를 위로 밀려면 분수의 위는 더 많이 아래는 더 적게 하고 마지막에 덜 빼면 됩니다 — 그리고 그 분수 규칙은 그냥 믿지 말고 통분해서 확인하세요.

반올림을 부등식으로 적기
-c 부분 먼저 떼어내기
몫의 규칙은 가정하지 말고 증명하기
어긋난 방향은 상쇄를 기대할 수 없다
살아남은 조합 하나 조립하기

반올림을 부등식으로 적기

-c 부분 먼저 떼어내기

몫의 규칙은 가정하지 말고 증명하기

어긋난 방향은 상쇄를 기대할 수 없다

살아남은 조합 하나 조립하기

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