AMC 10 · 2015 · #9

학년 7 probability
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
probability-basiccombinations-basicfundamental-counting-principle symmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
차례대로 가져가고 마지막 사람이 남은 것을 갖는다. 마지막 두 개가 같은 색일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{10}$
(B)
$\frac{1}{6}$
(C)
$\frac{1}{5}$
(D)
$\frac{1}{3}$
(E)
$\frac{1}{2}$
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

과정은 세 단계지만, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 이를 하나의 표본공간으로 눌러 펼 수 있다: 구슬 여섯 개를 캐럴의 쌍, 클로디아의 쌍, 셰릴의 쌍으로 나누는 모든 방법이다. 그 배분들이 모두 같은 확률을 갖게 되면 문제는 순수한 세기가 되고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 셰릴이 어떤 색을 갖게 되는지에 따라 유리한 경우를 나눈다. 이 문제에는 "순서는 상관없으니 셰릴이 먼저 뽑는다고 하자"라는 유명한 한 줄 풀이가 있고 답도 맞지만, 보통 쓰이는 형태로는 근거 없는 주장일 뿐이다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 그 주장을 실제로 증명하는 데 쓴다: 같은 90가지 배분을 '셰릴에게 남은 것'을 기준으로 다시 정리하면, 가능한 15가지 쌍이 모두 같은 확률임이 드러난다.

1STEP 1

구슬 여섯 개를 서로 구분하기

물건을 구분하면 배분을 셀 수 있다.

{R₁, R₂, G₁, G₂, Y₁, Y₂} — 서로 다른 구슬 여섯 개, 색마다 두 개씩
2STEP 2

가능한 배분을 모두 세기

똑같이 나올 배분이 90가지다.

15 · 6 · 1 = 90가지 배분, 각각의 확률은 1/15 · 1/6 = 1/90
3STEP 3

셰릴에게 유리한 배분 세기

그중 18가지가 같은 색 짝을 남긴다.

3 × (4 · 3)/2 = 3 × 6 = 18가지 유리한 배분
4STEP 4

마지막에 가져가도 손해가 없음을 증명하기

마지막에 가져가도 손해가 없다.

P(셰릴이 지정된 한 쌍을 가짐) = 6/90 = 1/15 (15가지 쌍 각각에 대해) → P = 3/15
5STEP 5

나누고 두 세기를 맞춰 보기

나누면 1/5, 보기 (C).

P = 18/90 = 3/15 = 1/5 → (C)
정답
1/5
이 값은 여러 점검을 통과한다. 0과 1 사이에 있고, 마땅히 그래야 하듯 작다: 셰릴에게 남을 수 있는 15가지 쌍 중 3가지만 같은 색이므로 답은 1/3보다 한참 아래여야 하고, 이것만으로 (D) 1/3과 (E) 1/2가 배제된다. 여집합도 들어맞는다: 15가지 중 12가지가 섞인 쌍이므로 색이 다를 확률은 12/15 = 4/5이고, 1/5 + 4/5 = 1이다. 셋째 점검은 아예 다른 계산을 쓴다 — 구슬을 하나씩 꺼낸다고 보고, 처음 네 개가 정확히 빨강이 아닌 네 개일 확률을 구하면 4/6 · 3/5 · 2/4 · 1/3 = 1/15로, 4단계의 쌍당 1/15과 일치하고 색이 셋이므로 다시 1/5이 된다. 마지막으로 (E) 1/2은 1단계가 막으려던 함정이다: 한 색의 구슬 두 개를 같은 것으로 취급해 색 움큼 RR, GG, YY, RG, RY, GY 여섯 가지가 모두 같은 확률인 척하면 3/6 = 1/2이 나온다. 그 여섯 가지는 같은 확률이 아니며, 그래서 구슬에 이름표가 필요했다.
💡핵심 정리

셰릴에게 남을 수 있는 15가지 쌍은 모두 같은 확률이고 그중 같은 색은 3가지뿐이므로, 셰릴의 확률은 3/15 = 1/5이다.

  • 구슬 여섯 개를 서로 구분하기
  • 가능한 배분을 모두 세기
  • 셰릴에게 유리한 배분 세기
  • 마지막에 가져가도 손해가 없음을 증명하기
  • 나누고 두 세기를 맞춰 보기

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