AMC 10 · 2015 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

polygon-inequalityperimeterinteger-pythagorean-triples systematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: polygon-inequalityperimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정수 변이 모두 달라야 하고, 둘레에 한계가 있으며, 직각은 허용되지 않는다. 삼각형의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

문제의 모든 조건은 결국 세 수에 대한 진술이므로, 삼각형을 세는 일은 정수 세 쌍을 세는 일로 바뀐다. 나열하기가 자연스러운 수순이지만, 목록 바깥에 아무것도 숨을 수 없음을 보여야 목록이 개수의 증명이 된다. 그래서 진짜 할 일은 나열 자체가 다루지 못하는 두 곳에 있다. 하나는 나열하기 전에 극단의 원리로 탐색 범위를 묶는 것이고, 다른 하나는 유명한 하나만 알아보는 대신 살아남은 것을 모두 직각 여부로 검사하는 것이다.

1STEP 1

삼각형 하나에 정렬된 세 쌍 하나

정렬하면 각 삼각형이 한 번만 나온다.

noncongruent triangles ⟷ sorted integer triples (a,b,c), a ≤ b ≤ c

2STEP 2

각 단어를 부등식으로 바꾸기

모든 단어가 단순한 부등식이 된다.

a ＜ b ＜ c, a+b ＞ c, a+b+c ≤ 14

3STEP 3

탐색이 끝난다는 것을 증명하기

탐색이 끝난다는 것이 증명된다.

a ≥ 4 → a+b+c ≥ 4+5+6 = 15 ＞ 14; a=1 → c ＜ b+1 → c ≤ b

4STEP 4

남은 두 경우를 빠짐없이 나열하기

부등식을 통과하는 세 쌍은 여섯뿐이다.

(2,3,4), (2,4,5), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6)

5STEP 5

여섯 개 모두를 직각 여부로 검사하기

그중 정확히 하나가 직각을 가진다.

a²+b² vs c²: 13 ＜ 16, 20 ＜ 25, 29 ＜ 36, 25=25, 25 ＜ 36, 34 ＜ 36

6STEP 6

남은 것 세기

따라서 5개가 남는다, 보기 (D).

6 - 1 = 5

정답

살아남은 다섯 개를 모든 조건에 대해 직접 확인해 보자. 둘레는 9, 11, 13, 13, 14로 모두 15보다 작다. 모든 세 쌍이 엄격히 커지므로 이등변삼각형도 정삼각형도 아니다. 각각에서 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 크다: 2+3 ＞ 4, 2+4 ＞ 5, 2+5 ＞ 6, 3+4 ＞ 6, 3+5 ＞ 6. 그래서 모두 넓이가 양수다. 그리고 어느 것도 a²+b²=c²을 만족하지 않는다. 아슬아슬하게 탈락한 것들이 경계를 제대로 읽었음을 확인해 준다. (2,3,5)는 2+3=5라서 삼각형이 납작하게 주저앉아 넓이가 0이 되어 탈락하고, (3,4,5)는 오직 직각삼각형이라서 탈락하며, (4,5,6)은 부등변이고 직각도 아니지만 둘레가 정확히 15라서 "15보다 작다"에 걸려 탈락한다. 오답이 사는 곳이 바로 뒤의 둘이다. (4,5,6)을 남기면 6이 되고, (3,4,5)와 (4,5,6)을 둘 다 남기면 7이 된다.

💡핵심 정리

목록이 개수의 증명이 되려면 목록이 반드시 끝난다는 것을 먼저 보여야 한다. 여기서는 가장 짧은 변이 4에 닿는 순간 둘레가 넘치므로 a=3 너머에는 아무것도 숨을 수 없다.

삼각형 하나에 정렬된 세 쌍 하나
각 단어를 부등식으로 바꾸기
탐색이 끝난다는 것을 증명하기
남은 두 경우를 빠짐없이 나열하기
여섯 개 모두를 직각 여부로 검사하기
남은 것 세기