AMC 10 · 2015 · #15
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
먼저 평점 목표에서 거꾸로 내려온다. 네 성적 중 둘은 이미 확정이므로 평점에 대한 조건은 영어와 역사 점수 하나에 대한 조건으로 접힌다. 두 과목이 가질 수 있는 성적은 각각 정확히 세 가지이므로 전체 표본공간은 아홉 쌍뿐이다. 이 정도면 전부 적어 볼 수 있고, 그것이 경계를 확실히 하는 가장 안전한 방법이다. 그리고 경계가 이 문제의 전부다. A 와 C 가 짝을 이루면 정확히 6점이 되어 통과하지만 B 와 C 가 짝을 이루면 5점이라 탈락하므로, '두 과목 다 잘 봐야 한다'는 직관적 해석은 틀렸다. 그 전에, 주어지지 않은 C 의 확률을 1 에서 남은 값으로 되찾는 것 자체가 하나의 작은 문제다. 독립성 덕분에 각 칸은 곱으로 계산되고, 통과하는 여섯 칸뿐 아니라 탈락하는 세 칸까지 계산해 두면 거의 공짜로 검산이 된다.
평점 목표를 점수 목표로 바꾸기
평균이 단순한 점수 목표가 된다.
네 성적 중 둘은 이미 정해져 있으니, 그것은 목표에서 그냥 빼 버리면 되는 고정된 선점 점수다.
7.EE.B.4Work Backwards빠진 C 의 확률 되찾기
빠진 확률을 각각 되찾는다.
일어날 수 있는 경우의 목록이 완전하면, 알려 주지 않은 하나의 확률은 나머지가 강제한다.
7.SP.C.7Identify Subproblems아홉 개의 성적 쌍 전부 적기
성적 쌍은 아홉뿐이다.
아홉 가지면 전부 적어 볼 만하고, 그러면 어떤 쌍이 경계의 어느 쪽인지 의심할 여지가 사라진다.
7.SP.C.8Make A Systematic List통과하는 쌍마다 확률 매기기
독립이라 각 쌍의 값이 곧장 매겨진다.
독립이라는 것은 한쪽 성적이 다른 쪽에 대해 아무것도 알려 주지 않는다는 뜻이므로, 두 확률은 그냥 곱하면 된다.
독립이라는 것은 한 성적이 다른 성적에 대해 아무것도 말해 주지 않는다는 뜻이므로, 두 확률이 그냥 곱해진다.
▸ 왜?
한 결과가 다른 결과에 대한 정보를 지니지 않으면, 둘 다 일어날 확률은 두 확률의 곱이다.
▸ 왜?
한 과목의 모든 성적이 다른 과목의 모든 성적과 짝지어질 수 있으므로, 결과가 격자를 가득 채운다.
통과하는 칸들 더하기
통과하는 칸을 더하면 11/24다.
공통분모 하나면 여섯 번의 분수 덧셈이 정수 덧셈 한 번으로 줄어든다.
5.NF.A.1Organize Information In More Ways탈락하는 칸으로 교차 검산
탈락하는 칸이 그것을 확인한다, 보기 (E).
이긴 칸뿐 아니라 진 칸까지 세면 한 줄이 더 들 뿐인데, 잘못 놓인 칸을 잡아낸다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement평점 목표를 먼저 점수 목표로 바꾸고, 그다음 성적 쌍을 모두 적어 보라. 문제는 경계 위에 숨어 있어서, A 옆의 C 는 아슬아슬하게 통과하지만 B 옆의 C 는 그러지 못한다.
- 평점 목표를 점수 목표로 바꾸기
- 빠진 C 의 확률 되찾기
- 아홉 개의 성적 쌍 전부 적기
- 통과하는 쌍마다 확률 매기기
- 통과하는 칸들 더하기
- 탈락하는 칸으로 교차 검산