AMC 10 · 2015 · #21
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #4(변수 도입하기)로 계단 칸 수를 n이라 둔다. 핵심은 마지막에 부분 점프가 필요해도 한 번의 온전한 점프를 쓴다는 점이어서, 점프 횟수는 올림 나눗셈 ⌈ n/2 ⌉와 ⌈ n/5 ⌉가 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "대시가 19번 적다"라는 문장을 하나의 식 ⌈ n/2 ⌉ - ⌈ n/5 ⌉ = 19로 옮긴다. 올림이 들어가 바로 풀기 어렵기 때문에, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 올림을 떼어낸 깔끔한 비율 식 n/2 - n/5 = 19를 먼저 풀어 n = 63 부근임을 찾는다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 63 근처의 정확한(올림한) 횟수를 짧은 구간에서 확인하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차가 정확히 19가 되는 모든 n을 모은다. 올림 때문에 차이가 매끄럽게 커지지 않고 출렁이기 때문이다.
각 점프 횟수 세기
각 점프 횟수는 올림이다.
온전한 한 걸음에 못 미치는 나머지 칸도 점프 한 번을 더 쓰게 하므로 나눗셈은 항상 올림한다.
한 걸음에 못 미치는 나머지도 도약을 하나 더 하게 만들므로, 나눗셈은 언제나 올림한다.
▸ 왜?
나눗셈은 한 걸음보다 작은 나머지를 남기며, 그 남은 것도 건너야 한다.
▸ 왜?
도약이 하나 적으면 끝에 못 미치므로, 다음 정수가 가장 작은 답이다.
차이 식 세우기
조건은 단순한 차 하나다.
"더 적다"는 뺄셈이므로 이야기 전체가 사냥할 깔끔한 식 하나로 바뀐다.
6.EE.B.6Convert To Algebra올림을 무시하고 어림하기
올림을 무시하면 답의 위치를 찾는다.
대시는 한 칸당 코지보다 점프를 약 3/10씩 아끼므로, 19번 아끼려면 대략 63칸이다.
6.RP.A.3Solve An Easier Related Problem63 근처에서 정확한 횟수 확인
정확한 확인을 통과하는 크기는 셋뿐이다.
올림 때문에 점프하는 사람이 배수를 지날 때마다 차가 1씩 튀어, 19가 한 덩어리가 아니라 흩어진 지점들에서 나타난다.
4.OA.A.3Guess And Check유효한 칸 수를 더하고 자릿수 합 구하기
그 자릿수 합은 13, 보기 (D).
확인을 통과한 모든 값을 모아 합한 뒤, 세 자리 숫자를 더해 최종 수를 얻는다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List점프 횟수는 나눗셈을 올림해서 세고, "19번 적다"를 식 하나로 바꾸고, 올림을 무시해 답이 어디쯤인지 어림한 뒤, 근처 정수들을 확인하라 — 올림 때문에 차이가 출렁여서 여러 계단이 답이 될 수 있다.
- 각 점프 횟수 세기
- 차이 식 세우기
- 올림을 무시하고 어림하기
- 63 근처에서 정확한 횟수 확인
- 유효한 칸 수를 더하고 자릿수 합 구하기