AMC 10 · 2015 · #23

학년 7 geometry-3d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

volume-rectangular-prismsurface-arealinear-diophantine bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: surface-areavolume-rectangular-prism

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정수 모서리를 가진 상자의 부피와 겉넓이가 수로서 같다. 그런 상자의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

문제가 "몇 개"를 묻고 있으므로 목표는 빠짐없이 겹치지 않게 세는 것입니다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 나열을 유한하게 만들기 위해 먼저 부피와 겉넓이를 식 abc=2(ab+bc+ca)로 옮기고 나누어 frac1a+frac1b+frac1c=1/2을 얻습니다(도구 #4, 변수 도입하기). 그다음 극단의 원리(도구 #14)가 가장 작은 모서리 a 를 좁은 범위 {3,4,5,6}에 가두고, 각 a 값이 하나의 작은 문제(도구 #7)가 되어 약수쌍 나열로 풀립니다.

1STEP 1

부피 쓰기

같다고 놓으면 방정식 하나가 된다.

V = abc

2STEP 2

겉넓이를 쓰고 같게 놓기

나누면 그것이 역수의 합이 된다.

abc = 2(ab+bc+ca)

3STEP 3

abc 로 나누기

그것이 가장 작은 모서리를 빡빡하게 막는다.

1 = 2(1/c+1/a+1/b) → 1/a+1/b+1/c=1/2

4STEP 4

가장 작은 모서리 a 의 범위 잡기

그것이 가질 수 있는 값은 넷뿐이다.

1/2 ≤ 3/a → a ≤ 6, 1/a ＜ 1/2 → a ≥ 3

5STEP 5

경우 a = 3

첫 경우가 상자 다섯으로 인수분해된다.

1/b+1/c=1/6 → (b-6)(c-6)=36

6STEP 6

경우 a = 4

둘째가 셋을 더 준다.

1/b+1/c=1/4 → (b-4)(c-4)=16

7STEP 7

경우 a = 5

셋째가 하나를 준다.

1/b+1/c=3/10 → (b,c)=(5,10)

8STEP 8

경우 a = 6

마지막도 하나를 준다.

1/b+1/c=1/3 → (b,c)=(6,6)

9STEP 9

경우들을 더하기

더하면 10, 보기 (B).

5 + 3 + 1 + 1 = 10 → (B)

정답

10은 선택지 중 하나입니다. 정육면체 (6,6,6)은 직접 확인됩니다: 부피는 216, 겉넓이는 6 · 6² = 216으로 같습니다. 가장 작은 모서리 a 가 {3,4,5,6} 안에 머물러 빠뜨린 경우가 없고, 개수 5,3,1,1은 모두 빠짐없는 약수쌍 나열에서 나왔습니다. 합 10은 선택지 (B)와 일치합니다.

💡핵심 정리

"부피 = 겉넓이"를 frac1a+frac1b+frac1c=1/2로 바꾸고, 가장 작은 모서리를 몇 개 값으로 좁힌 뒤 각 경우에서 약수쌍을 세면 됩니다.

부피 쓰기
겉넓이를 쓰고 같게 놓기
abc 로 나누기
가장 작은 모서리 a 의 범위 잡기
경우 a = 3
경우 a = 4
경우 a = 5
경우 a = 6
경우들을 더하기