AMC 10 · 2015 · #3
학년 4 algebra linear-equations-two-vardivisibility-rules convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 수는 두 번, 다른 수는 세 번 나와 정해진 합이 된다. 모르는 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
8
(B)
11
(C)
14
(D)
15
(E)
18
풀이 과정
전략 가능성 지우기
28이 두 번 반복된 수인지 세 번 반복된 수인지 주어지지 않았으므로, 가능한 설정은 단 두 가지뿐입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 설정을 각각 시험해, 자연수가 나올 수 없는 쪽을 지워서 유효한 답 하나만 남깁니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 모르는 정수를 x 로 이름 붙여, 각 경우가 그 값을 무엇으로 강제하는지 추적하게 합니다. 결정적인 단서는 나머지 정수가 자연수로 떨어져야 한다는 것 — 두 경우 중 하나만이 그 시험을 통과합니다.
1STEP 1
미지수를 정하고 두 경우 나열하기
가능한 경우가 둘이다.
경우 A: 3 · 28 + 2x = 100, 경우 B: 2 · 28 + 3x = 100
다섯 자리를 28과 x 에 나누는 방법은 두 가지뿐이라, 둘 다 확인하면 모든 경우를 덮습니다.
4.OA.A.3Introduce A Variable2STEP 2
경우 A 시험: 28이 세 번
첫 경우가 깔끔한 정수 8을 준다.
3 · 28 = 84, 100 - 84 = 16, x = 16 ÷ 2 = 8
세 수가 정해지면, 남은 합은 마지막 두 수에 똑같이 나눠 가져야 합니다.
세 수가 정해지면, 남은 합을 마지막 두 수에 고르게 나누어야 한다.
▸ 왜?
전체 합은 다섯 수를 더한 것이므로, 셋을 덜면 정확히 나머지 둘이 남는다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
남은 두 수가 서로 같으므로, 각각은 그 남은 합을 둘로 나눈 것이다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
3STEP 3
경우 B 시험, 지우고, 답 읽기
둘째는 정수를 주지 못한다, 보기 (A).
2 · 28 = 56, 100 - 56 = 44, 44 ÷ 3은 자연수가 아님 → (A) 8
남은 양을 같은 자연수 조각으로 나눌 수 없다면, 그 경우는 일어날 수 없습니다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities정답
8
이긴 경우를 직접 확인합니다: 다섯 수는 28, 28, 28, 8, 8이고 28+28+28+8+8 = 84 + 16 = 100입니다. 주어진 합과 일치하고, 수 중 하나는 요구대로 28 이며, 반복되는 두 값 모두 정수입니다. 답 8도 선택지 안에 있습니다.
💡핵심 정리
어떤 수가 어느 자리에 들어가는지 모를 때는 모든 경우를 시험해 보고, 자연수로 딱 떨어지는 것만 남기세요.
- 미지수를 정하고 두 경우 나열하기
- 경우 A 시험: 28이 세 번
- 경우 B 시험, 지우고, 답 읽기