AMC 10 · 2015 · #5

학년 7 rate-ratio
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State
percentageratio-proportionlinear-equations-one-var complementary-countingextreme-principle ↑ 선수 지식: percentageratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
경기를 더 한 뒤 한쪽의 승률이 아주 높은 비율에 닿아야 한다. 필요한 최소 추가 경기 수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
35
(B)
37
(C)
39
(D)
41
(E)
43
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

Sharks의 승수는 계속 늘어나기 때문에 그대로 쫓아가기가 번거롭다. 반면 Tigers의 승수는 다루기 쉽다. Tigers는 이미 2승을 확보했고, 나중 경기가 그 2승을 없앨 수는 없기 때문이다. 그래서 여집합 쪽으로 관점을 바꾼다. Sharks가 적어도 95%를 차지한다는 것은 Tigers가 많아야 5%를 차지한다는 것과 같은 말이고, 그러면 문제는 "2가 전체의 5%밖에 안 되려면 몇 경기를 치러야 하는가?"로 바뀐다. 그리고 확인해야 할 것은 하나가 아니라 둘이다. 더 작은 N은 절대 안 된다는 것과, 찾은 N이 실제 승패 결과로 정말 만들어질 수 있다는 것이다.

1STEP 1

지금까지의 전적 읽기

지금까지의 전적은 고정이다.

after 3 games: Tigers 2, Sharks 1
2STEP 2

두 미지수에 이름 붙이기

조건은 단순한 분수 하나다.

(1+s)/(3+N) ≥ 19/20, 0 ≤ s ≤ N
3STEP 3

Tigers 쪽 비율로 뒤집기

쪽을 뒤집으면 그것이 작아진다.

(1+s)/(3+N) ≥ 19/20 ⇔ (2+(N-s))/(3+N) ≤ 1/20
4STEP 4

Tigers 승수를 바닥까지 밀어붙이기

지는 쪽은 이미 2승이 있다.

2 ≤ (3+N)/20 → 3+N ≥ 40 → N ≥ 37
5STEP 5

37이 실제로 되는지 확인하기

그것이 37을 강제하고 실제로 도달된다, 보기 (B).

N=37: (1+37)/(3+37)=38/40=19/20=95%
정답
37
"최솟값"을 묻는 문제이므로 두 방향을 모두 확인했다. 먼저 37보다 작은 값은 되지 않는다. Tigers는 2승을 영원히 지니므로 Sharks의 비율은 아무리 잘해야 (1+N)/(3+N)을 넘을 수 없고, N=35일 때 그 값은 36/38=18/19≈ 94.7%로 95%에 못 미친다. 그리고 37은 실제로 된다. Sharks가 37경기를 모두 이기면 40경기 중 정확히 38승이 된다. 답이 경계값에 딱 걸리는 것도 자연스럽다. 문제의 표현이 "적어도 95%"라서 등호가 허용되기 때문이다. 만약 "95%보다 많이"였다면 추가 경기는 38번 필요했을 것이다(39/41≈ 95.1%). 어디서 지름길이 어긋날 수 있는지도 짚어 둘 만하다. (1+N)/(3+N)=19/20을 방정식으로 풀면 여기서는 마침 정수 37이 나오지만, 정직한 결론은 부등식 N ≥ 37이다. 목표 비율이 달라지면 방정식의 해가 정수에서 벗어날 수 있다. 목표가 4/7이라면 방정식은 N=5/3을 주고, 실제 답은 그 위의 정수인 N=2이다. 부등식은 이 상황도 견디지만 방정식은 그렇지 못하다.
💡핵심 정리

Tigers의 2승은 절대 지워지지 않으니, Sharks의 비율을 쫓지 말고 2가 전체의 1/20이 되려면 몇 경기가 필요한지를 물어라.

  • 지금까지의 전적 읽기
  • 두 미지수에 이름 붙이기
  • Tigers 쪽 비율로 뒤집기
  • Tigers 승수를 바닥까지 밀어붙이기
  • 37이 실제로 되는지 확인하기

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