AMC 10 · 2015 · #6
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169개의 곱을 전부 계산하고 싶은 사람은 없다. 문제는 각 값이 홀수인지만 묻고, 곱이 홀수인지는 오직 두 이름표의 홀짝에만 달려 있다. 그래서 계획은 이렇다. 먼저 몸통에 칸이 정확히 몇 개인지 확정하고, 다음으로 곱의 홀짝 규칙을 양쪽 방향 모두 증명하고, 그다음 홀수 이름표를 세어 곱한다. 결과 전체가 진술하기는 쉽지만 틀리기도 쉬운 두 주장 — 몸통의 행이 12개가 아니라 13개라는 것과, 곱이 홀수인 것은 두 인수가 모두 홀수일 때뿐이라는 것 — 위에 놓여 있으므로, 각각을 가정하지 않고 따로 증명한다. 그런 다음 여집합 세기와 선택지에 대한 크기 어림으로, 같은 계산을 재사용하지 않는 두 경로로 결과를 점검한다.
몸통의 칸 수 세기
몸통에 칸이 169개다.
0에서 시작해 12에서 끝나는 목록에는 13개의 수가 있으므로, 몸통은 "12단 곱셈표"라는 이름이 주는 느낌보다 행도 하나, 열도 하나 더 크다.
5.NBT.B.5Draw A Diagram곱이 언제 홀수인지 증명하기
곱이 홀수이려면 두 이름표가 모두 홀수여야 한다.
곱 어딘가에 인수 2가 하나라도 있으면 끝까지 살아남고, 어느 인수도 2를 가지고 있지 않으면 2가 새로 생겨날 길이 없다.
곱 어디에든 2라는 인수가 하나 있으면 끝까지 살아남고, 어느 인수도 그것을 지니지 않으면 새로 생겨나지 않는다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 곱 속의 2는 오직 그 인수에서만 온다.
▸ 왜?
곱이 홀수인 것은 모든 인수가 홀수일 때뿐인데, 짝수 인수 하나면 곱이 짝수가 되기 때문이다.
홀수 이름표 나열하기
홀수 이름표는 여섯이다.
짝수로 시작해 짝수로 끝나는 연속된 정수 구간에서는 짝수가 홀수보다 정확히 하나 많다.
2.OA.C.3Make A Systematic List홀수 칸 세기
그러면 홀수 칸이 36개다.
홀수 행과 홀수 열의 교차 부분 자체가 하나의 곱셈표이므로, 홀수 칸들은 13 곱하기 13 표 안에 숨어 있는 6 곱하기 6 블록이다.
3.OA.A.1Eliminate Possibilities짝수를 세어 교차 검증하기
짝수를 세어도 확인된다.
원하지 않는 것을 세어 빼는 것은 진짜로 다른 계산이므로, 두 결과가 맞아떨어지면 같은 실수를 되풀이한 것이 아니라 실질적인 증거가 된다.
4.NBT.B.4Change Focus Count The Complement나눗셈 없이 반올림하기
범위를 잡으면 0.21로 반올림된다.
분수를 반올림할 때 필요한 것은 자릿수가 아니라 가장 가까운 두 중간 지점 중 어느 쪽에 놓이는지뿐이다.
5.NBT.A.4Solve An Easier Related Problem선택지와 대조해 확정하기
그것은 사분의 일보다 확실히 작다, 보기 (E).
짝수 이름표 0을 넣으면 분모만 커지고 홀수 항목은 하나도 늘지 않으므로, 비율은 내려갈 수밖에 없다.
4.NF.A.2Eliminate Possibilities곱은 모든 인수가 홀수일 때만 홀수이므로, 곱셈표에서 홀수 항목을 세는 일은 홀수 행 이름표 수와 홀수 열 이름표 수를 곱하는 일일 뿐이다. 그리고 0의 행과 열도 표의 일부로 세야 한다.
- 몸통의 칸 수 세기
- 곱이 언제 홀수인지 증명하기
- 홀수 이름표 나열하기
- 홀수 칸 세기
- 짝수를 세어 교차 검증하기
- 나눗셈 없이 반올림하기
- 선택지와 대조해 확정하기