AMC 10 · 2015 · #7
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
L과 R은 둘 다 정확한 개수를 묻고, 정확한 개수란 사실 두 가지 주장이다. 이것들은 된다는 주장, 그리고 그 밖에는 아무것도 안 된다는 주장. 되는 접는 선과 되는 회전은 15개의 꼭짓점이 원 위에 고르게 놓인 그림을 떠올리면 쉽게 보인다. 무게가 실리는 쪽은 나머지 접는 선과 더 작은 회전을 전부 배제하는 일이다. 그래서 대칭이 중심과 꼭짓점을 어디로 보낼 수 있는지부터 확정한 뒤, 그것으로 개수를 위에서 눌러 조이는 계획을 쓴다.
정확한 개수 두 개로 쪼개기
문제는 사실 두 개의 개수다.
대칭을 센다는 것은 찾아내는 일과 나머지를 닫아버리는 일, 둘 다를 뜻한다.
4.G.A.3Identify Subproblems모든 대칭은 중심을 고정한다
모든 대칭이 중심을 고정한다.
도형이 움직이지 않으면 그 균형점도 움직일 수 없다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships접는 선 하나에는 꼭짓점이 정확히 하나
변이 홀수라 각 접는 선에 꼭짓점이 하나씩이다.
홀수 개의 꼭짓점은 전부 짝을 지을 수 없으므로, 하나는 접는 선 위에 앉아야 한다.
홀수 개의 꼭짓점은 모두 짝지어질 수 없으므로, 그 가운데 하나가 접는 선 위에 놓여야 한다.
▸ 왜?
거울은 각 꼭짓점을 정확히 다른 한 꼭짓점과 맞추므로, 짝짓기는 둘씩 소모한다.
▸ 왜?
홀수인 무더기는 남김없이 짝지을 수 없으므로, 정확히 한 꼭짓점이 짝을 잃는다.
따라서 L = 15, 더도 덜도 아니다
따라서 접는 선은 정확히 15개다.
접는 선은 자기가 지나는 꼭짓점 하나에 못 박혀 있어서, 접는 선과 꼭짓점이 일대일로 대응된다.
4.G.A.3Draw A Diagram꼭짓점 간격은 24°
꼭짓점 간격은 24도다.
같은 간격 열다섯 개가 한 바퀴를 나눠 가지므로, 한 간격은 한 바퀴의 15분의 1이다.
5.NBT.B.6Introduce A Variable따라서 R = 24, 더 작은 것은 없다
그보다 작은 것은 안 된다.
내려앉을 수 있는 자리는 꼭짓점뿐이고 그 간격이 24°이므로, 더 작은 회전은 앉을 곳이 없다.
4.MD.C.5Eliminate Possibilities두 결과 더하기
더하면 39, 보기 (C).
방금 푼 두 조각이 아니라, 문제가 물어본 것을 답하라.
4.OA.A.3Identify Subproblems정십오각형은 꼭짓점 하나마다 접는 선이 하나씩 있고 24°씩 돌아간다. 진짜 할 일은 그 밖에는 없음을 보이는 것이다.
- 정확한 개수 두 개로 쪼개기
- 모든 대칭은 중심을 고정한다
- 접는 선 하나에는 꼭짓점이 정확히 하나
- 따라서 L = 15, 더도 덜도 아니다
- 꼭짓점 간격은 24°
- 따라서 R = 24, 더 작은 것은 없다
- 두 결과 더하기