AMC 10 · 2015 · #8
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
여기서 거슬리는 대상은 log₅ 2015 하나뿐이고, 로그를 무력화하는 가장 빠른 방법은 이름을 붙이는 것이다. x = log₅ 2015로 두면 로그 전체가 5^x = 2015라는 평범한 식 하나로 바뀐다(변수 도입하기). 그다음 남는 장애물은 겉모습뿐이다 — 거듭제곱은 밑 625로 쓰여 있는데 쓸모 있는 사실은 밑 5로 쓰여 있다. 그래서 625를 5⁴로 고쳐 써서 모든 것을 한 밑으로 모은다(다르게 정리하기). 밑이 맞춰지면 바깥의 1/4 지수가 4를 정확히 되돌리고, 저장해 둔 식 5^x = 2015가 마무리를 짓는다. 마지막으로 값을 5의 두 거듭제곱 사이에 가두고 다섯 보기를 그 구간과 대조한다(가능성 지우기). 이는 앞의 대수 계산을 다시 쓰지 않는 경로로 답을 확인해 준다.
로그에 이름 붙이기
로그에 이름을 붙인다.
로그는 결국 찾고 있던 지수일 뿐이므로, 이름을 붙이면 무서운 기호가 평범한 식 하나로 바뀐다.
11.F-LE.A.4Introduce A Variable모든 것을 밑 5로 맞추기
모든 것이 한 밑으로 다시 쓰인다.
두 거듭제곱은 같은 밑을 쓸 때만 서로 대화할 수 있고, 625는 5를 네 번 말한 것일 뿐이다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways네제곱근이 4를 되돌린다
근이 그 거듭제곱을 정확히 되돌린다.
지수를 네 배 하는 것과 네제곱근을 취하는 것은 정확히 반대 작업이라, 지수는 손대지 않은 채로 돌아온다.
지수를 네 배 하는 것과 네제곱근을 취하는 것은 정확히 반대이므로, 지수가 그대로 되돌아온다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱의 거듭제곱은 그 횟수를 곱한다.
▸ 왜?
거듭제곱근은 거듭제곱을 정확히 되돌리므로, 횟수를 곱했다가 나누면 처음 자리로 돌아온다.
저장해 둔 식 꺼내 쓰기
저장해 둔 식이 2015를 준다.
5를 밑 5의 로그만큼 거듭제곱하면 원래 수를 그대로 돌려준다 — 두 연산은 서로를 지우도록 만들어졌다.
11.F-LE.A.4Introduce A Variable값을 5의 거듭제곱 사이에 가두기
값을 범위로 가두면 확인된다, 보기 (D).
지수를 4와 5 사이에 못 박으면 값도 5의 두 거듭제곱 사이에 못 박히고, 그 틈에 들어맞는 보기는 하나뿐이다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilities625를 5⁴으로 쓰면 바깥의 네제곱근이 그 4를 지워 5^log₅ 2015만 남고, 밑 5의 거듭제곱이 밑 5의 로그 위에 올라앉으면 원래 수를 그대로 돌려준다.
- 로그에 이름 붙이기
- 모든 것을 밑 5로 맞추기
- 네제곱근이 4를 되돌린다
- 저장해 둔 식 꺼내 쓰기
- 값을 5의 거듭제곱 사이에 가두기