AMC 10 · 2016 · #1
학년 6 arithmetic factorialfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: factorial
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 계승의 차를 더 작은 계승으로 나눈다. 그 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
99
(B)
100
(C)
110
(D)
121
(E)
132
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
11!, 10!, 9! 을 따로 계산하면 거대한 수를 곱해야 해서 느리고 실수하기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 안전한 조각으로 나눕니다 — 각 팩토리얼을 다시 써서 공통의 9! 이 드러나게 하고, 분자에서 그 9! 을 묶어내고, 분모와 약분합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 핵심 관찰, 즉 각 팩토리얼이 9! 위에 몇 개의 인수만 더 얹은 것이라는 점을 알려 주어, 무엇도 끝까지 곱할 필요가 없게 합니다.
1STEP 1
공통의 9! 을 드러내기
두 항이 같은 계승을 품고 있다.
11! = 11 · 10 · 9! = 110 · 9!, 10! = 10 · 9!
팩토리얼은 바로 다음 팩토리얼에 인수 몇 개를 앞에 더 쌓은 것일 뿐이라, 9! 이 둘 안에 모두 숨어 있습니다.
5.NBT.B.5Look For A Pattern2STEP 2
위쪽에서 9! 묶어내기
그것을 묶어내면 단순한 차가 남는다.
11!-10! = 110 · 9! - 10 · 9! = (110-10) · 9! = 100 · 9!
두 양이 모두 9! 으로 이루어져 있다면 그 차이도 9! 으로 이루어지며, 남은 9! 의 개수만 세면 됩니다.
두 양이 모두 같은 계승으로 지어졌다면, 그 차도 같은 계승으로 지어진다.
▸ 왜?
두 항이 공유하는 인수는 뺄셈에서 들어낼 수 있고, 안에는 작은 차만 남는다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
이어서 그 공통 인수로 나누면 곱셈이 되돌려져, 거대한 조각이 사라진다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
약분하고 답 읽기
약분하면 100, 보기 (B).
(11!-10!)/9! = (100 · 9!)/9! = 100 → (B)
9! 으로 나누는 것은 9! 을 곱한 것을 되돌리므로, 거대한 인수는 사라지고 100만 남습니다.
4.NF.A.1Identify Subproblems정답
100
9! 의 실제 크기가 전혀 필요 없었다는 점이 좋은 신호입니다 — 완전히 약분되어 선택지 사이에 딱 들어맞는 깔끔한 자연수 100이 남았습니다. 크기로 빠르게 확인해 보면: 11! 은 10! 의 11 배이므로 11!-10! 은 대략 10! 의 10 배이고, 10! 은 9! 의 10 배이므로, 이는 대략 9! 의 10 × 10 = 100 배 — 100과 정확히 일치합니다.
💡핵심 정리
팩토리얼을 빼거나 나눌 때는 모두가 공통으로 가진 가장 큰 것을 찾아 묶어내고 약분되게 하세요 — 거대한 수를 곱할 일은 거의 없습니다.
- 공통의 9! 을 드러내기
- 위쪽에서 9! 묶어내기
- 약분하고 답 읽기