AMC 10 · 2016 · #18

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationdivisor-countexponents casework ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
어떤 수의 배수가 알려진 약수 개수를 가지며, 그것이 미지수의 소인수 꼴을 정한다. 다른 식의 약수 개수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
110
(B)
191
(C)
261
(D)
325
(E)
425
풀이 과정
전략 변수 도입하기

약수 문제는 소인수분해의 지수에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 110n³ 안 2,5,11의 지수를 이름 붙여 '약수가 110개'라는 조건을 (지수+1)들의 곱에 대한 방정식으로 바꾼다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 지수를 확정한다. 110=2 · 5 · 11은 각 인수가 적어도 2여야 한다는 조건 아래 약수 개수의 곱으로 쪼개는 방법이 단 하나뿐이기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업 순서를 정리한다. 먼저 n의 지수를 찾고, 그다음 81n⁴을 다시 만들어 약수를 센다.

1STEP 1

지수에 이름 붙이기

약수 개수는 지수에 1을 더한 것들의 곱이다.

d(p₁^e₁… p_k^e_k)=(e₁+1)…(e_k+1)
2STEP 2

110을 인수로 쪼개기

주어진 개수가 세 인수로 쪼개진다.

110 = 2 × 5 × 11
3STEP 3

지수 읽어내기

그것이 각 지수를 정확히 알려 준다.

{a+1, b+1, c+1}={2,5,11} → {a,b,c}={1,4,10}
4STEP 4

n의 지수 복원하기

3으로 나누면 미지수가 복원된다.

n³=2⁰5³11⁹ (어떤 순서로) → n=2⁰5¹11³ (어떤 순서로)
5STEP 5

81n⁴ 만들어 세기

다시 세우면 325, 보기 (D).

81n⁴=3⁴ 2⁰5⁴11¹² (소수는 어떤 순서로), (4+1)(0+1)(4+1)(12+1)=5·1·5·13=325
정답
325
조건에 맞는 구체적 n을 하나 잡자. 예를 들어 n = 5 · 11³ = 6655 (2,5,11 위 지수가 0,1,3)이다. 그러면 110n³ = 2¹ 5⁴ 11¹⁰이고 약수 개수는 2 · 5 · 11 = 110으로 가정과 일치한다. 같은 n에 대해 81n⁴ = 3⁴ 5⁴ 11¹²의 약수는 (4+1)(4+1)(12+1) = 5 · 5 · 13 = 325개로 (D)를 확인한다. 곱셈은 순서에 무관하므로 지수 0,1,3이 어느 소수에 놓이든 값은 같다.
💡핵심 정리

약수의 개수는 소인수분해의 지수로 센다. 각 소수가 '지수보다 하나 많은' 선택지를 주고, 그것들을 곱하기만 하면 된다.

  • 지수에 이름 붙이기
  • 110을 인수로 쪼개기
  • 지수 읽어내기
  • n의 지수 복원하기
  • 81n⁴ 만들어 세기

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