AMC 10 · 2016 · #19
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
256개의 동전 순서열을 정리하는 가장 뻔한 방법은 제리가 어디서 끝나는지로 나누는 것이다. 그런데 여기서는 그 정리가 치명적으로 정보를 잃는다. "4에 닿는다"는 것은 도착점이 아니라 여정 전체에 대한 사실이라서, 도착점이 같은 두 순서열이 서로 다른 답을 가질 수 있다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 바로 이것을 고친다. 하나가 아니라 두 가지 정보 — 현재 위치와, 4에 이미 닿았는지를 알려주는 표시 — 로 순서열을 다시 세면 아무것도 잃지 않는다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 표시가 의미를 갖게 하는 그림을 준다. 던지기들이 수직선 위의 걸음을 그리므로 "4에 닿았다"는 자취 전체의 성질이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 표의 각 새 줄을 서로 독립인 두 조각 — 앞서 성공한 것들을 그대로 옮긴 몫과, 이번에 처음 도착한 몫 — 으로 나눈다. 그러면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 한 번씩 던지며 표를 밀어내기만 하면 되는데, 이는 순전한 덧셈이고 빠뜨리는 것이 없다.
던지기를 걸음으로 바꾸기
각 던지기가 한 걸음 옮긴다.
동전 던지기의 나열은 하나의 걸음이고, "4에 닿는다"는 멈춘 자리가 아니라 남긴 자취를 묻는 말이다.
7.NS.A.1Draw A Diagram도착점만으로는 부족하다
도착점만으로는 부족하다.
예/아니오 칸 하나를 표에 더하는 것이, 여정 전체를 묻는 불가능해 보이는 질문을 한 줄씩 세는 문제로 바꾼다.
7.SP.C.8Organize Information In More Ways처음 네 번을 훑기
한 단계씩 훑으면 각 위치를 추적한다.
각 줄은 윗줄에서 단순한 덧셈으로 만들어진다. 성공하는 순간 한 칸만 빼내는 파스칼의 삼각형과 똑같다.
표의 각 줄은 윗줄에서 단순한 덧셈으로 지어지며, 성공한 것은 나오는 즉시 빼낸다.
▸ 왜?
각 자리는 아래의 두 자리 가운데 하나에서 닿으며, 결코 둘 다에서 동시에 닿지 않는다.
▸ 왜?
각 던지기는 다른 던지기와 상관없이 정해지므로, 같은 길이의 배열은 모두 같은 수만큼 있다.
성공은 옮기고 새 성공은 더하기
한 번 닿은 성공은 계속 이어진다.
성공은 계속 성공이므로, 지켜볼 것은 지금 3에 서서 올라가려는 걸음이 몇 개인지뿐이다.
7.SP.C.8Identify Subproblems일곱 번째와 여덟 번째 마무리
마지막 단계가 집계를 끝낸다.
마지막 줄에는 윗줄에서 딱 한 숫자만 필요하다. 3에 서 있는 걸음의 개수다.
7.SP.C.8Make A Systematic List256가지 전체로 나누기
모든 걸음으로 나누면 분수가 된다.
모든 경우가 같은 확률이면, 확률은 그저 성공한 개수를 전체 개수로 나눈 것일 뿐이다.
7.SP.C.7Identify Subproblems기약분수로 줄이기
약분하면 151, 보기 (B).
여기서 약분은 선택이 아니다. 묻는 것이 a + b라서 약분하지 않으면 답이 달라진다.
6.NS.B.4Identify Subproblems어떤 수에 닿는다는 것은 도착점이 아니라 여정 전체에 대한 이야기다. 그러니 표에 "이미 닿았음"이라는 예/아니오 칸을 하나 더 만들고, 한 번씩 던지며 앞으로 밀어라.
- 던지기를 걸음으로 바꾸기
- 도착점만으로는 부족하다
- 처음 네 번을 훑기
- 성공은 옮기고 새 성공은 더하기
- 일곱 번째와 여덟 번째 마무리
- 256가지 전체로 나누기
- 기약분수로 줄이기