AMC 10 · 2016 · #23

학년 10 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Volume

geometric-probabilitypolygon-inequalitycomplementary-countingvolume-pyramid complementary-countingsymmetry-argument ↑ 선수 지식: polygon-inequalitygeometric-probability

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

무작위 세 길이가 넓이가 있는 삼각형을 만들어야 한다. 그 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac16$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac12$

(D)

$\frac23$

(E)

$\frac56$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

경우의 목록이 유한하지 않으므로 '세기'를 '재기'로 바꿔야 한다. 도구 #1과 #17은 이 실험을 기하로 바꾼다. (x,y,z) 한 번의 추출은 단위 정육면체의 한 점이고, 세 수가 균등하고 독립이므로 어떤 사건의 확률은 그에 대응하는 영역의 부피와 정확히 같다. 성공 영역은 세 부등식이 동시에 깎아낸 모양이라 직접 재기가 번거롭다. 도구 #14(극단의 원리)는 세 수 중 가장 큰 수만이 삼각형 조건을 깨뜨릴 수 있음을 보여 주므로, 실패 조건이 세 개가 아니라 하나로 줄어든다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기, 여사건 세기)이 효율적인 길이 된다. 피라미드 모양으로 드러나는 실패 영역 세 개를 재서 정육면체의 부피 1에서 빼면 된다. 도구 #4는 세 좌표에 이름을 붙이고 조건을 부등식으로 적어 계산을 정확하게 유지한다.

1STEP 1

한 번의 추출을 정육면체의 점으로

한 번의 추출은 단위 정육면체의 점이다.

(x,y,z)∈[0,1]³, 부피=1, P(영역)=그 영역의 부피

2STEP 2

삼각형 조건을 부등식으로

조건은 세 부등식이다.

x+y ＞ z, y+z ＞ x, z+x ＞ y

3STEP 3

가장 큰 변만 위험하다

가장 큰 것만 실패할 수 있다.

z=max(x,y,z) → 삼각형⇔ x+y ＞ z; 실패⇔ z ≥ x+y

4STEP 4

실패 영역 하나의 부피 재기

실패 영역 하나는 재기 쉽다.

단면 넓이=z²/2; vol(B_z)=1/3·1/2 · 1=1/6

5STEP 5

실패 영역 세 개를 더하기

그런 영역이 셋이다.

실패 영역의 부피=3·1/6=1/2

6STEP 6

빼서 답 구하기

빼면 1/2, 보기 (C).

P(삼각형)=1-1/2=1/2→(C)

정답

1/2

완전히 다른 논증으로도 같은 1/2이 나온다. 어느 좌표가 가장 큰지에 따라 정육면체를 셋으로 나누면, z가 가장 큰 조각의 부피는 대칭에 의해 1/3이다. 그 조각에 대응 (x,y,z)↦(z-x, z-y, z)를 적용하자. x,y∈[0,z]이므로 상은 여전히 z가 가장 큰 조각 안에 있고, 각 수평 단면에서 이 대응은 반사이므로 부피를 보존하며 두 번 적용하면 제자리로 돌아온다. 또 x+y ＞ z를 (z-x)+(z-y)=2z-(x+y) ＜ z로 보내므로 삼각형이 되는 점과 되지 않는 점을 하나씩 짝짓는다. 따라서 그 조각의 절반이 성공이고, 나머지 두 조각도 같으므로 전체는 1/2이다. 크기 감각으로도 타당하다. 아주 작은 수 하나가 섞이면 실패하므로 답은 1보다 작아야 하고, 비슷한 크기의 세 수는 대부분 삼각형이 되므로 1/6보다는 훨씬 커야 한다. 엄격한 부등호 문제도 해가 없다. 경계 z=x+y는 부피가 0인 평면이라 납작한 삼각형은 확률을 바꾸지 못한다.

💡핵심 정리

세 수를 단위 정육면체 속 한 점으로 보면, 실패하는 경우는 한 수가 나머지 두 수의 합 이상일 때뿐이고 그 실패 피라미드 세 개가 정육면체의 정확히 절반을 채운다.

한 번의 추출을 정육면체의 점으로
삼각형 조건을 부등식으로
가장 큰 변만 위험하다
실패 영역 하나의 부피 재기
실패 영역 세 개를 더하기
빼서 답 구하기