AMC 10 · 2016 · #24

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

vieta-formulasam-gm-inequalitypolynomial-rootsoptimization vieta-formulasextreme-principle ↑ 선수 지식: vieta-formulasam-gm-inequality

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 계수가 삼차식에 두 번 나오고 세 근이 모두 실수여야 한다. 가장 작은 경우의 다른 계수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

최솟값을 묻는 문제이므로 극단의 원리가 작업의 뼈대를 정한다. 먼저 a의 하한을 찾고, 그 하한에 실제로 도달하는 다항식이 있음을 보이면 된다. 하한을 얻으려면 다항식 자체가 아니라 그 근을 봐야 한다. 근을 r, s, t로 이름 붙이면 계수는 비에트 관계로 바뀌고, 이 문제의 특징인 'a가 두 군데에 공유된다'는 조건은 곧 근의 합 = 근의 곱을 뜻한다. 바로 이 상황이 산술-기하 평균 부등식(AM-GM)으로 모든 것을 a 하나에 대한 부등식으로 줄이는 자리다. 그러면 문제는 세 조각으로 쪼개진다. AM-GM을 쓸 수 있도록 근이 모두 양수임을 보이기, 하한 구하기, 그 하한에 도달함을 확인하기.

1STEP 1

계수를 근에 대한 식으로 바꾸기

계수가 근에 대한 사실이 된다.

r+s+t = a, rs+rt+st = b, rst = a

2STEP 2

세 근이 모두 양수임을 보이기

세 근이 모두 양수여야 한다.

r = a+u+v ＞ u+v → r(u+v) ＞ (u+v)² ≥ 4uv → b = uv - r(u+v) ＜ 0

3STEP 3

AM-GM으로 a를 조이기

평균 부등식이 계수를 제한한다.

a/3 ≥ ∛(a) → a³/27 ≥ a → a² ≥ 27 → a ≥ 3√(3)

4STEP 4

등호 조건이 무엇을 강제하는지 보기

등호가 세 근을 모두 같게 만든다.

r = s = t, r³ = 3√(3) = (√(3))³ → r = s = t = √(3)

5STEP 5

하한에 실제로 도달하는지 확인하기

그런 삼차식이 실제로 존재한다.

(x-√(3))³ = x³ - 3√(3) x² + 9x - 3√(3)

6STEP 6

강제된 b 읽어내기

다른 계수를 읽으면 9, 보기 (C).

b = rs + rt + st = 3(√(3))² = 9

정답

다시 대입해 보자. (a = 3√(3) ≈ 5.196)일 때 다항식은 (x³ - 5.196x² + 9x - 5.196)이고, 근은 (√(3) ≈ 1.732) 하나가 세 번 겹친 것이다. 근의 합 (3(1.732) ≈ 5.196)과 근의 곱 ((1.732)³ ≈ 5.196)이 실제로 같은데, 이는 공유된 a가 요구하는 바로 그 조건이다. a를 더 줄일 수 없는 이유도 구체적이다. (a = 5)라면 합이 5이고 곱도 5인 양수 세 개가 필요한데, AM-GM에 의해 그 곱은 최대 ((5/3)³ ≈ 4.63 ＜ 5)이다. 또한 9는 (3 · 3)에서 나온 값이 놓일 만한 자리, 즉 선택지의 한가운데에 있다.

💡핵심 정리

근의 합과 근의 곱이 같은 수가 되도록 묶여 있으면 AM-GM이 그 수를 아래에서 조여 오고, 가장 빠듯한 경우는 언제나 세 근이 모두 같을 때다.

계수를 근에 대한 식으로 바꾸기
세 근이 모두 양수임을 보이기
AM-GM으로 a를 조이기
등호 조건이 무엇을 강제하는지 보기
하한에 실제로 도달하는지 확인하기
강제된 b 읽어내기