AMC 10 · 2016 · #3
학년 7 number-theory floor-functionfraction-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
나머지 규칙이 음수 몫에 내림 함수를 쓴다. 그 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$-\frac{3}{8}$
(B)
$-\frac{1}{40}$
(C)
0
(D)
$\frac{3}{8}$
(E)
$\frac{31}{40}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
공식이 복잡해 보이지만, 사실은 순서대로 하는 세 가지 작은 일일 뿐이고 이것이 바로 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 필요한 이유다: 먼저 x를 y로 나누고, 그 몫의 바닥값을 구한 다음, 다시 대입해 빼면 된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 x=3/8, y=-2/5를 헷갈리지 않게 지켜 각 조각이 제자리에 들어가게 한다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 빠른 점검을 준다: 결과는 분모가 40인 음수여야 하므로 이미 하나의 선택지를 가리킨다.
1STEP 1
수를 공식에 대입하기
공식을 그대로 적용한다.
rem(3/8,-2/5)=3/8-(-2/5)⌊ 3/8/-2/5⌋
공식은 빈칸 채우기일 뿐이다: 주어진 각 수를 그 문자가 있는 자리에 넣는다.
6.EE.A.2Introduce A Variable2STEP 2
두 분수 나누기
몫이 음수로 나온다.
3/8/-2/5=3/8·(-5/2)=-15/16
뒤집어 곱하면 분수 위의 분수가 깔끔한 분수 하나로 바뀌고, 음의 부호 하나가 결과를 음수로 만든다.
뒤집어 곱하면 분수를 분수로 나눈 것이 깔끔한 분수 하나가 된다.
▸ 왜?
어떤 수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것인데, 둘이 서로를 되돌리기 때문이다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
분자와 분모에 같은 것을 곱하면 값을 바꾸지 않고 분수의 이름만 달라진다.
동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.
3STEP 3
음수의 바닥값 구하기
내림하면 0이 아니라 -1이다.
⌊ -15/16⌋=⌊ -0.9375⌋=-1
바닥값은 항상 왼쪽으로 가장 가까운 정수로 내려가므로, 0보다 살짝 작은 수는 -1에 닿는다.
6.NS.C.7Identify Subproblems4STEP 4
다시 대입해서 빼기
다시 대입하면 -1/40, 보기 (B).
3/8-(-2/5)(-1)=15/40-16/40=-1/40=(B)
바닥값을 확정하고 나면 공식 전체가 평범한 분수 뺄셈 하나로 줄어든다.
7.NS.A.1Identify Subproblems정답
-1/40
결과 -1/40은 두 가지 빠른 검사를 통과한다. 부호: 3/8=15/40은 2/5=16/40보다 아주 살짝 작으므로 차이는 음수이고, 예상과 같다. 분모: 8분의와 5분의를 합치면 분모가 40이 된다. 선택지 중 음수이면서 분모가 40인 것은 (B)뿐이라 정확히 일치한다.
💡핵심 정리
바닥값은 항상 더 작은 수 쪽으로 내림하므로, -0.9375처럼 0보다 살짝 작은 값은 0이 아니라 -1로 떨어진다.
- 수를 공식에 대입하기
- 두 분수 나누기
- 음수의 바닥값 구하기
- 다시 대입해서 빼기