AMC 10 · 2016 · #12
학년 4 geometry-2d parityparity-coloringlogical-deduction parity-coloring ↑ 선수 지식: parity
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
연속한 수가 맞닿은 칸에 있어야 하고 모서리의 합을 안다. 가운데 칸의 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
5
(B)
6
(C)
7
(D)
8
(E)
9
풀이 과정
전략 그림 그리기
격자를 직접 채워 보는 것은 경우의 수가 많아 느리다. 대신 격자를 체스판처럼 색칠한다(도구 #1). 사슬 1→2→…→9는 변을 맞댄 칸으로만 이동하는데, 그때마다 색이 바뀌므로 수의 홀짝 패턴이 색과 정확히 맞물린다(도구 #5). 홀수와 짝수의 개수를 세면 모서리와 가운데가 어느 색이어야 하는지 결정되고(도구 #3), 격자를 완성하지 않고도 모서리와 가운데의 합이 고정된다.
1STEP 1
격자를 체스판처럼 색칠하기
체스판 색칠이 격자를 다섯 대 넷으로 나눈다.
● & ° & ● ; ° & ● & ° ; ● & ° & ● ; ●=진한 색 (5), °=연한 색 (4)
체스판에서는 이웃 칸으로 한 칸 갈 때마다 색이 뒤집히므로, 모서리와 가운데는 같은 색, 변 가운데는 다른 색이 된다.
체스판에서는 이웃으로 한 걸음 옮길 때마다 색이 뒤집히므로, 모퉁이와 가운데가 한 색을 공유한다.
▸ 왜?
이웃한 칸은 언제나 반대 색이므로, 색이 격자 전체에서 번갈아 나타난다.
번갈아 두 색 칠하기판을 체스판처럼 칠하면 맞닿은 칸끼리 색이 다르므로, 이웃한 두 칸을 덮는 조각은 언제나 두 색을 하나씩 가져간다.
▸ 왜?
걸음마다 함께 뒤집히는 두 가지는 끝까지 완벽하게 맞물려 간다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
2STEP 2
홀짝을 색과 맞추기
연속한 수는 색이 바뀌어야 한다.
1_●→2_°→3_●→4_°→…
매 걸음마다 함께 뒤집히는 두 가지는 끝까지 완벽하게 맞물려 간다.
2.OA.C.3Look For A Pattern3STEP 3
홀수를 다섯 진한 칸에 몰아넣기
따라서 모든 홀수가 한 색에 앉는다.
1+3+5+7+9 = 25
같은 홀짝인 다섯 칸을 네 개뿐인 짝수로 채울 수 없으니, 그것은 홀수일 수밖에 없다.
2.NBT.B.5Eliminate Possibilities4STEP 4
빼서 가운데만 남기기
모서리를 빼면 7, 보기 (C).
가운데 = 25 - 18 = 7 = (C)
모서리와 가운데를 합한 값도 알고 모서리만의 값도 아니, 남는 것이 가운데이다.
2.NBT.B.5Eliminate Possibilities정답
7
구체적인 격자가 이를 확인해 준다. 행이 3 4 5 / 2 7 6 / 1 8 9 인 배치는 사슬 1→2→…→9를 변을 맞댄 칸들을 따라 그리므로 규칙에 맞는다. 모서리는 3+5+1+9=18로 조건에 맞고, 가운데는 7로 홀수이며 진한 칸 논증이 요구하는 그대로다. 모서리와 가운데 칸 {1,3,5,7,9}의 합은 25이고, 25-18=7과 일치한다.
💡핵심 정리
격자를 체스판처럼 색칠하면 연속한 수는 반드시 다른 색으로 건너뛰어야 하므로, 모서리와 가운데 다섯 칸이 바로 다섯 홀수가 된다. 그리고 25-18이 가운데를 남긴다.
- 격자를 체스판처럼 색칠하기
- 홀짝을 색과 맞추기
- 홀수를 다섯 진한 칸에 몰아넣기
- 빼서 가운데만 남기기